Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Cho tam giác ABC có $CACB$ và ..... ..., đường tòòn tâm O đường kính AB. Các,tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và C cắt nhau tại M. Gọi H là giao điểm của MO và AC.,a) Chứng minh rằng tứ giác OCMA nội tiếp và $HA=HC.$,b) Vẽ CK vuông góc với AB $(K\in AB)$ và HE vuông góc với CK $(E\in CK).$ Chứng,minh rằng $HE.CM=HM.CH$ và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OKH nằm trên,đường thẳng OC.,c) Chứng minh rằng ba điểm M, E, B thẳng hàng.

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Cho tam giác ABC có $CA>CB$ và ..... ...,  đường tòòn tâm O đường kính AB. Các,tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và C cắt nhau tại M. Gọi H là giao điểm của MO và AC.,a) Chứng minh rằng tứ giác OCMA nội tiếp và $HA=HC.$,b) Vẽ CK vuông góc với AB $(K\in AB)$ và HE vuông góc với CK $(E\in CK).$ Chứng,minh rằng $HE.CM=HM.CH$ và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OKH nằm trên,đường thẳng OC.,c) Chứng minh rằng ba điểm M, E, B thẳng hàng.

Tài khoản ẩn danh · Accepted Answer

$$ ext{a) Do MA, MC là tiếp tuyến nên } \angle MAO = \angle MCO = 90^\circ$$

$$ ext{Xét tứ giác OCMA có } \angle MAO + \angle MCO = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$

$$ ext{Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OCMA nội tiếp (dnb)}$$

$$ ext{Ta có MA = MC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OC (=R)}$$

$$\Rightarrow MO \perp AC$$

$$\Rightarrow MO ext{ là trung trực của AC}$$

$$\Rightarrow MO \perp AC ext{ tại trung điểm H của AC}$$

$$\Rightarrow HA = HC$$

$$ ext{b) } HE \parallel AB (LCK), HA = HC \Rightarrow HE ext{ là đường trung bình của } riangle ACK \Rightarrow HE = \dfrac{1}{2}AK$$

$$ ext{Xét } riangle MHC ext{ và } riangle AKC ext{ có:}$$

$$\angle MHC = \angle AKC (=90^\circ)$$

$$\angle HMC = \angle CAK ext{ (góc nội tiếp cùng chắn cung OC)}$$

$$\Rightarrow riangle MHC \sim riangle AKC (g.g) \Rightarrow \dfrac{MH}{AK} = \dfrac{MC}{AC}$$

$$\Rightarrow MH.AC = MC.AK$$

$$\Leftrightarrow MH.2HC = MC.2HE$$

$$\Rightarrow MH.HC = MC.HE$$

$$ ext{Ta có } \angle CHO + \angle OKC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$

$$ ext{Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác HOKC nội tiếp đường tròn đường kính OC (dlnb)}$$

$$ ext{Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OKH nằm trên đường thẳng OC.}$$

$$ ext{c) Gọi MB cắt CK tại } E', ext{ cắt (O) tại điểm thứ hai là F. Ta đi chứng minh E' là trung điểm của CK}$$

$$ ext{Ta có } riangle MCF \sim riangle MBC ext{ (g.g) (do } \angle CMB ext{ chung, } \angle MCF = \angle MBC)$$

$$\Rightarrow MC^2 = MF.MB$$

$$ ext{Mà } MC^2 = MH.MO ext{ (hệ thức lượng)}$$

$$\Rightarrow MH.MO = MF.MB \Rightarrow \dfrac{MH}{MF} = \dfrac{MB}{MO} \Rightarrow riangle MFO \sim riangle MOB ext{ (c.g.c)}$$

$$\Rightarrow \angle MHF = \angle MBO$$

$$\Rightarrow OHFB ext{ nội tiếp}$$

$$\Rightarrow \angle BFH = \angle HOA ext{ (góc ngoài của đỉnh đối diện)}$$

$$ ext{Mà } \angle HOA = \angle ACK ext{ (cùng phụ với } \angle KAC)$$

$$\Rightarrow \angle BFH = \angle ACK ext{ hay } \angle E'FH = \angle E'CH \Rightarrow HE'CF ext{ nội tiếp}$$

$$\Rightarrow \angle E'HC = \angle E'FC = \angle BFC = \angle BAC$$

$$\Rightarrow HE' \parallel AB$$

$$ ext{Mà H là trung điểm AC nên E' là trung điểm CK (đường trung bình)}$$

$$\Rightarrow E' = E$$

$$ ext{Vậy M, E, B thẳng hàng.}$$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh rằng tứ giác OCMA nội tiếp và $ HA = HC $.

1. Chứng minh tứ giác OCMA nội tiếp:

- Ta có $ MA $ và $ MC $ là các tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $ A $ và $ C $. Do đó, $ \angle MAC = \angle MCA = 90^\circ $.
   - Vì $ \angle MAC + \angle MCA = 180^\circ $, nên tứ giác $ OCMA $ nội tiếp đường tròn.

2. Chứng minh $ HA = HC $:

- Gọi $ H $ là giao điểm của $ MO $ và $ AC $.
   - Do $ MA $ và $ MC $ là các tiếp tuyến, nên $ \angle MAO = \angle MCO $.
   - Tam giác $ MAO $ và $ MCO $ là hai tam giác vuông có $ MO $ là cạnh chung và $ \angle MAO = \angle MCO $, do đó $ \triangle MAO \cong \triangle MCO $ (góc - cạnh - góc).
   - Suy ra $ AO = CO $ và $ HA = HC $ (do $ H $ là trung điểm của $ AC $).

b) Chứng minh rằng $ HE \cdot CM = HM \cdot CH $ và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ OKH $ nằm trên đường thẳng $ OC $.

1. Chứng minh $ HE \cdot CM = HM \cdot CH $:

- Xét tam giác vuông $ HEC $ và $ HMC $, ta có:
     - $ \angle HEC = \angle HMC = 90^\circ $.
   - Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
     - $ HE \cdot HC = HM \cdot HC $.
   - Suy ra $ HE \cdot CM = HM \cdot CH $.

2. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ OKH $ nằm trên đường thẳng $ OC $:

- Gọi $ O&#x27; $ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ OKH $.
   - Do $ OK $ vuông góc với $ AB $ và $ HE $ vuông góc với $ CK $, nên $ O&#x27; $ là trung điểm của $ OK $ và $ HE $.
   - Vì $ O&#x27; $ là trung điểm của $ OK $ và $ HE $, nên $ O&#x27; $ nằm trên đường trung trực của $ OK $ và $ HE $.
   - Do đó, $ O&#x27; $ nằm trên đường thẳng $ OC $.

c) Chứng minh rằng ba điểm $ M, E, B $ thẳng hàng.

- Ta đã biết $ HE $ vuông góc với $ CK $ và $ CK $ vuông góc với $ AB $, do đó $ HE $ song song với $ AB $.
- Vì $ M $ là giao điểm của các tiếp tuyến $ MA $ và $ MC $, nên $ M $ nằm trên đường thẳng qua $ E $ và song song với $ AB $.
- Do đó, ba điểm $ M, E, B $ thẳng hàng.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.