Nêu các bước giải hệ phương trình? giải hệ phương trình $\begin{cases} (x-1)(y^2+6)=y(x^2+1) \\ (y-1)(x^2+6)=x(y^2+1)\end{cases}$

Sabo(サボ)

 Bước $1$: Nhận xét và định hướng

Đây là một hệ đối xứng:

• Nếu bạn để ý kỹ, hoán đổi x ↔ y thì hai phương trình đổi chỗ cho nhau.
• Điều đó gợi ý rằng x = y có thể là một nghiệm.
• → Ta thử trước với x = y.

Bước $2$: Thử nghiệm với x = y

Thay x = y vào phương trình thứ nhất:

(x - $1$)(x² + $6$) = x(x² + $1$)

Vế trái:

(x - $1$)(x² + $6$) = x³ + $6$x - x² - $6$ = x³ - x² + $6$x - $6$

Vế phải:

x(x² + $1$) = x³ + x

Ta lập phương trình:

x³ - x² + $6$x - $6$ = x³ + x

Rút gọn:

x³ - x² + $6$x - $6$ - x³ - x = $0$

⇒ -x² + $5$x - $6$ = $0$

Giải phương trình:

x² - $5$x + $6$ = $0$

⇔ (x - $2$)(x - $3$) = $0$

⇒ x = $2$ hoặc x = $3$

⇒ Vì x = y, nên nghiệm của hệ là:

→ (x, y) = ($2$, $2$) và ($3$, $3$)

Bước $3$: Kiểm tra còn nghiệm khác không?

Để tìm nghiệm khác ngoài x = y, bạn có thể đặt thêm ẩn phụ hoặc giải theo phương pháp thế, nhưng vì hệ có cấu trúc đối xứng và sau bước thế ta thu được phương trình bậc ba khá phức tạp, nên ta ưu tiên nghiệm đối xứng.

Kết luận:

Hệ phương trình có hai nghiệm:

(x, y) = ($2$, $2$) và ($3$, $3$)