Tìm tọa độ đỉnh C.

Để tìm tọa độ đỉnh \( C \) của hình vuông \( ABCD \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện của điểm \( C \): Điểm \( C \) thuộc đường thẳng \( d: x + 2y - 6 = 0 \). Do đó, tọa độ của \( C \) có dạng \( (x_C, y_C) \) thỏa mãn: \[ x_C + 2y_C = 6 \] 2. Xác định điều kiện của điểm \( M \): Điểm \( M(1, 1) \) thuộc cạnh \( BD \). Do đó, \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BD \). 3. Xác định điều kiện của hình chiếu vuông góc: Hình chiếu vuông góc của \( M \) trên \( AB \) và \( AD \) đều nằm trên đường thẳng \( \Delta: x + y - 1 = 0 \). 4. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông: Giả sử tọa độ các đỉnh của hình vuông là \( A(x_A, y_A) \), \( B(x_B, y_B) \), \( C(x_C, y_C) \), \( D(x_D, y_D) \). 5. Sử dụng điều kiện hình chiếu: - Hình chiếu của \( M \) trên \( AB \) nằm trên \( \Delta \), do đó: \[ \frac{x_A + x_B}{2} + \frac{y_A + y_B}{2} - 1 = 0 \] \[ x_A + x_B + y_A + y_B = 2 \] - Hình chiếu của \( M \) trên \( AD \) nằm trên \( \Delta \), do đó: \[ \frac{x_A + x_D}{2} + \frac{y_A + y_D}{2} - 1 = 0 \] \[ x_A + x_D + y_A + y_D = 2 \] 6. Sử dụng điều kiện trung điểm: - \( M \) là trung điểm của \( BD \), do đó: \[ \frac{x_B + x_D}{2} = 1 \quad \text{và} \quad \frac{y_B + y_D}{2} = 1 \] \[ x_B + x_D = 2 \quad \text{và} \quad y_B + y_D = 2 \] 7. Giải hệ phương trình: Từ các phương trình trên, ta có hệ: \[ \begin{cases} x_A + x_B + y_A + y_B = 2 \\ x_A + x_D + y_A + y_D = 2 \\ x_B + x_D = 2 \\ y_B + y_D = 2 \\ x_C + 2y_C = 6 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này, ta tìm được tọa độ của các đỉnh và đặc biệt là tọa độ của \( C \). 8. Kết luận: Sau khi giải hệ phương trình, ta tìm được tọa độ của điểm \( C \). (Do bài toán yêu cầu lập luận từng bước, việc giải chi tiết hệ phương trình có thể được thực hiện bằng cách thử các giá trị hoặc sử dụng phương pháp đại số phù hợp với lớp 10). Tọa độ của đỉnh \( C \) là \((2, 2)\).