Nêu các bước giải hệ phương trình? $\begin{cases} y^2 -2xy=8x^2-6x+1 \\ y^2=x^3+8x^2 -x+1 \end {cases}$

\[\begin{cases} y^2 - 2xy = 8x^2 - 6x + 1 \quad (1) \\ y^2 = x^3 + 8x^2 - x + 1 \quad (2) \end{cases}\]

Bước 1: Thay phương trình (2) vào phương trình (1) 

Từ phương trình (2), ta có \( y^2 = x^3 + 8x^2 - x + 1 \). Thay vào phương trình (1):

\[x^3 + 8x^2 - x + 1 - 2xy = 8x^2 - 6x + 1\]

Bước 2: Rút gọn phương trình 

Bỏ các số hạng giống nhau ở hai vế:

\[x^3 - x + 1 - 2xy = -6x + 1\]

Tiếp tục rút gọn: \[x^3 - x - 2xy = -6x\]

Chuyển tất cả các số hạng sang một vế:

\[x^3 - x - 2xy + 6x = 0 \\x^3 + 5x - 2xy = 0\]

Bước 3: Phân tích phương trình 

Đặt \( x \) làm nhân tử chung:

\[x(x^2 + 5 - 2y) = 0\]

Suy ra:

\[x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 + 5 - 2y = 0\]

Trường hợp 1: \( x = 0 \) 

Thay \( x = 0 \) vào phương trình (2):

\[y^2 = 0 + 0 - 0 + 1 = 1 \\\Rightarrow y = \pm 1\]

Ta được hai nghiệm: \( (0, 1) \) và \( (0, -1) \).

Trường hợp 2: \( x^2 + 5 - 2y = 0 \) 

Giải phương trình để biểu diễn \( y \) theo \( x \):

\[2y = x^2 + 5 \\y = \frac{x^2 + 5}{2}\]

Thay \( y = \frac{x^2 + 5}{2} \) vào phương trình (2):

\[\left( \frac{x^2 + 5}{2} \right)^2 = x^3 + 8x^2 - x + 1\]

Nhân cả hai vế với 4 để khử mẫu:

\[(x^2 + 5)^2 = 4x^3 + 32x^2 - 4x + 4 \\x^4 + 10x^2 + 25 = 4x^3 + 32x^2 - 4x + 4\]

Chuyển tất cả các số hạng sang một vế:

\[x^4 - 4x^3 - 22x^2 + 4x + 21 = 0\]

Bước 4: Giải phương trình bậc 4 

Thử nghiệm hữu tỉ với các giá trị \( x = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21 \):

- Với \( x = 1 \):

\[1 - 4 - 22 + 4 + 21 = 0\]

Vậy \( x = 1 \) là nghiệm. Thực hiện phép chia đa thức hoặc sử dụng sơ đồ Horner để phân tích:

\[(x - 1)(x^3 - 3x^2 - 25x - 21) = 0\]

Tiếp tục thử nghiệm với \( x^3 - 3x^2 - 25x - 21 = 0 \):

- Với \( x = 3 \):

\[27 - 27 - 75 - 21 = -96 \neq 0\]

- Với \( x = -3 \):

\[-27 - 27 + 75 - 21 = 0\]

Vậy \( x = -3 \) là nghiệm. Phân tích tiếp:

\[(x - 1)(x + 3)(x^2 - 6x - 7) = 0\]

Giải phương trình \( x^2 - 6x - 7 = 0 \):

\[x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2} \\\Rightarrow x = 7 \quad \text{hoặc} \quad x = -1\]

Tổng hợp các nghiệm \( x \): 

\( x = 0, 1, -3, 7, -1 \).

Bước 5: Tìm \( y \) tương ứng 

- Với \( x = 1 \):

\[y = \frac{1 + 5}{2} = 3\]

- Với \( x = -3 \):

\[y = \frac{9 + 5}{2} = 7\]

- Với \( x = 7 \):

\[y = \frac{49 + 5}{2} = 27\]

- Với \( x = -1 \):

\[y = \frac{1 + 5}{2} = 3\]

Bước 6: Kiểm tra nghiệm 

Kiểm tra các cặp nghiệm trong phương trình (2):

1. \( (0, 1) \): \( 1 = 0 + 0 - 0 + 1 \) (đúng) 

2. \( (0, -1) \): \( 1 = 0 + 0 - 0 + 1 \) (đúng) 

3. \( (1, 3) \): \( 9 = 1 + 8 - 1 + 1 = 9 \) (đúng) 

4. \( (-3, 7) \): \( 49 = -27 + 72 + 3 + 1 = 49 \) (đúng) 

5. \( (7, 27) \): \( 729 = 343 + 392 - 7 + 1 = 729 \) (đúng) 

6. \( (-1, 3) \): \( 9 = -1 + 8 + 1 + 1 = 9 \) (đúng)