Nêu các bước giải hệ phương trình nâng cao khó? giải hệ phương trình sau $\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{2-y}=\sqrt{2} \\\sqrt{y}+\sqrt{2-x}=\sqrt{2}\end{cases}$

Hệ phương trình:

\[\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{2 - y} = \sqrt{2} \quad (1) \\ \sqrt{y} + \sqrt{2 - x} = \sqrt{2} \quad (2) \end{cases}\]

Bước 1: Điều kiện xác định

- \(x \geq 0\), \(y \geq 0\) (do \(\sqrt{x}\) và \(\sqrt{y}\) xác định). 

- \(2 - y \geq 0 \Rightarrow y \leq 2\), \(2 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2\). 

- Kết hợp: \(0 \leq x, y \leq 2\).

Bước 2: Nhận xét tính đối xứng

Hệ có dạng đối xứng giữa \(x\) và \(y\). Ta dự đoán nghiệm \(x = y\). 

- Thay \(x = y\) vào phương trình (1): 

 \[\sqrt{x} + \sqrt{2 - x} = \sqrt{2}.\] 

- Bình phương hai vế: 

 \[x + 2 - x + 2\sqrt{x(2 - x)} = 2 \Rightarrow 2\sqrt{2x - x^2} = 0.\] 

- Giải: 

 \[\sqrt{2x - x^2} = 0 \Rightarrow 2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2 - x) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2.\] 

- Kiểm tra lại: 

 - Nếu \(x = 0\): \(\sqrt{0} + \sqrt{2} = \sqrt{2}\) (đúng). 

 - Nếu \(x = 2\): \(\sqrt{2} + \sqrt{0} = \sqrt{2}\) (đúng). 

Nghiệm đối xứng: \((x, y) = (0, 2)\) và \((2, 0)\).

Bước 3: Kiểm tra nghiệm không đối xứng

Giả sử \(x \neq y\), ta trừ phương trình (1) cho (2): 

\[\sqrt{x} - \sqrt{y} + \sqrt{2 - y} - \sqrt{2 - x} = 0.\] 

- Đặt \(a = \sqrt{x}\), \(b = \sqrt{y}\) (\(a, b \geq 0\)): 

 \[a - b + \sqrt{2 - b^2} - \sqrt{2 - a^2} = 0.\] 

- Xét hàm số \(f(t) = t + \sqrt{2 - t^2}\) trên \([0, \sqrt{2}]\): 

 - Đạo hàm: 

  \[f'(t) = 1 - \frac{t}{\sqrt{2 - t^2}}.\] 

 - \(f'(t) = 0 \Rightarrow t = 1\) (điểm cực trị). 

 - Hàm \(f(t)\) đồng biến trên \([0, 1]\) và nghịch biến trên \([1, \sqrt{2}]\). 

- Do đó, phương trình \(f(a) = f(b)\) chỉ có nghiệm \(a = b\) (tức \(x = y\)). 

Kết luận: Hệ chỉ có nghiệm đối xứng.

Bước 4: Kết luận nghiệm

Hệ phương trình có hai nghiệm: 

\[\boxed{(x, y) = (0, 2)} \quad \text{và} \quad \boxed{(2, 0)}.\]