Giúp mình với!

Bài 1: Bài 1: Để chứng minh phương trình $ax^2+bx+c=0$ luôn có nghiệm khi $ac < 0$, ta sẽ sử dụng biệt thức $\Delta$ của phương trình bậc hai. Biệt thức $\Delta$ của phương trình $ax^2+bx+c=0$ là: $\Delta = b^2 - 4ac$ Do $ac < 0$, nên $-4ac > 0$. Do đó, $b^2 - 4ac > b^2$. Vì $b^2$ luôn không âm, nên $b^2 - 4ac > 0$. Vì $\Delta > 0$, phương trình $ax^2+bx+c=0$ luôn có hai nghiệm phân biệt. Vậy, phương trình $ax^2+bx+c=0$ luôn có nghiệm khi $ac < 0$. Bài 2: Phương trình đã cho là \( x^2 - (3m^2 - 5m + 1)x - (m^2 - 4m + 5) = 0 \). Ta sẽ sử dụng phương pháp tính biệt thức \(\Delta\) để kiểm tra nghiệm của phương trình bậc hai này. Biệt thức \(\Delta\) của phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \) được tính theo công thức: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Trong phương trình đã cho, ta có: \[ a = 1 \] \[ b = -(3m^2 - 5m + 1) \] \[ c = -(m^2 - 4m + 5) \] Do đó, biệt thức \(\Delta\) là: \[ \Delta = [-(3m^2 - 5m + 1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot [-(m^2 - 4m + 5)] \] Tính toán cụ thể: \[ \Delta = (3m^2 - 5m + 1)^2 + 4(m^2 - 4m + 5) \] Mở rộng và rút gọn: \[ \Delta = (3m^2 - 5m + 1)^2 + 4m^2 - 16m + 20 \] Ta thấy rằng \((3m^2 - 5m + 1)^2\) luôn luôn không âm (vì bình phương của một biểu thức luôn không âm), và \(4m^2 - 16m + 20\) cũng luôn luôn dương (vì \(4m^2 - 16m + 20 = 4(m^2 - 4m + 5)\) và \(m^2 - 4m + 5\) luôn luôn dương). Do đó, \(\Delta\) luôn luôn dương với mọi giá trị của \(m\). Vậy phương trình \( x^2 - (3m^2 - 5m + 1)x - (m^2 - 4m + 5) = 0 \) luôn có nghiệm với mọi \(m\). Bài 3: Để phương trình \( x^2 + (m^2 - 3m + 2)x - (m^2 - 2m + 4) = 0 \) có hai nghiệm đều dương, ta cần thỏa mãn các điều kiện sau: 1. Phương trình phải có hai nghiệm thực. 2. Tổng của hai nghiệm phải dương. 3. Tích của hai nghiệm phải dương. Bước 1: Xác định điều kiện để phương trình có hai nghiệm thực. Phương trình \( x^2 + (m^2 - 3m + 2)x - (m^2 - 2m + 4) = 0 \) có hai nghiệm thực nếu biệt thức \( \Delta \geq 0 \). Biệt thức \( \Delta \) của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) là: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Áp dụng vào phương trình đã cho: \[ a = 1, \quad b = m^2 - 3m + 2, \quad c = -(m^2 - 2m + 4) \] Ta có: \[ \Delta = (m^2 - 3m + 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot [-(m^2 - 2m + 4)] \] \[ \Delta = (m^2 - 3m + 2)^2 + 4(m^2 - 2m + 4) \] Bước 2: Xác định tổng và tích của hai nghiệm. Theo định lý Vi-ét, tổng \( S \) và tích \( P \) của hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) của phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \) là: \[ S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] \[ P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \] Áp dụng vào phương trình đã cho: \[ S = -(m^2 - 3m + 2) \] \[ P = -(m^2 - 2m + 4) \] Bước 3: Đặt các điều kiện để hai nghiệm đều dương. 1. Tổng của hai nghiệm phải dương: \[ S > 0 \] \[ -(m^2 - 3m + 2) > 0 \] \[ m^2 - 3m + 2 < 0 \] \[ (m - 1)(m - 2) < 0 \] Giải bất phương trình này: \[ 1 < m < 2 \] 2. Tích của hai nghiệm phải dương: \[ P > 0 \] \[ -(m^2 - 2m + 4) > 0 \] \[ m^2 - 2m + 4 < 0 \] Nhưng \( m^2 - 2m + 4 \) là một biểu thức luôn dương vì: \[ m^2 - 2m + 4 = (m - 1)^2 + 3 \] \[ (m - 1)^2 \geq 0 \] \[ (m - 1)^2 + 3 \geq 3 \] Do đó, \( m^2 - 2m + 4 \) không bao giờ âm, nên điều kiện này không thể thỏa mãn. Kết luận: Không tồn tại giá trị \( m \) nào để phương trình \( x^2 + (m^2 - 3m + 2)x - (m^2 - 2m + 4) = 0 \) có hai nghiệm đều dương. Bài 4: Để phương trình \( x^2 - (m^2 - 5m + 4)x - (m^2 + 4m + 5) = 0 \) có hai nghiệm đều âm, ta cần thỏa mãn các điều kiện sau: 1. Phương trình phải có hai nghiệm thực. 2. Tổng của hai nghiệm phải âm. 3. Tích của hai nghiệm phải dương. Bước 1: Xác định điều kiện để phương trình có hai nghiệm thực. Phương trình \( x^2 - (m^2 - 5m + 4)x - (m^2 + 4m + 5) = 0 \) có hai nghiệm thực nếu biệt thức \( \Delta \geq 0 \). Biệt thức \( \Delta \) của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) là: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Áp dụng vào phương trình đã cho: \[ a = 1, \quad b = -(m^2 - 5m + 4), \quad c = -(m^2 + 4m + 5) \] Ta có: \[ \Delta = (-(m^2 - 5m + 4))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(m^2 + 4m + 5)) \] \[ \Delta = (m^2 - 5m + 4)^2 + 4(m^2 + 4m + 5) \] Bước 2: Xác định tổng và tích của hai nghiệm. Theo định lý Vi-ét, tổng \( S \) và tích \( P \) của hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) của phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \) là: \[ S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] \[ P = x_1 x_2 = \frac{c}{a} \] Áp dụng vào phương trình đã cho: \[ S = -(m^2 - 5m + 4) \] \[ P = -(m^2 + 4m + 5) \] Bước 3: Đặt các điều kiện để hai nghiệm đều âm. 1. Tổng của hai nghiệm phải âm: \[ S < 0 \] \[ -(m^2 - 5m + 4) < 0 \] \[ m^2 - 5m + 4 > 0 \] Giải bất phương trình \( m^2 - 5m + 4 > 0 \): \[ m^2 - 5m + 4 = (m - 1)(m - 4) > 0 \] Bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|ccc} m & (-\infty, 1) & (1, 4) & (4, \infty) \\ \hline (m - 1) & - & + & + \\ (m - 4) & - & - & + \\ (m - 1)(m - 4) & + & - & + \end{array} \] Do đó, \( m^2 - 5m + 4 > 0 \) khi \( m < 1 \) hoặc \( m > 4 \). 2. Tích của hai nghiệm phải dương: \[ P > 0 \] \[ -(m^2 + 4m + 5) > 0 \] \[ m^2 + 4m + 5 < 0 \] Nhưng \( m^2 + 4m + 5 \) là một tam thức bậc hai luôn dương vì \( \Delta' = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0 \). Vậy \( m^2 + 4m + 5 < 0 \) không thể xảy ra. Kết luận: Không tồn tại giá trị nào của \( m \) để phương trình \( x^2 - (m^2 - 5m + 4)x - (m^2 + 4m + 5) = 0 \) có hai nghiệm đều âm. Bài 5: Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi tích của hai nghiệm âm. Theo định lý Vi-et, tích của hai nghiệm của phương trình $x^2-x+4m-1=0$ là $4m-1$. Do đó, phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $4m-1 < 0$. Giải bất phương trình này ta được $m < \frac{1}{4}$. Vậy, phương trình $x^2-x+4m-1=0$ có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $m < \frac{1}{4}$. Bài 6: a) Ta có $\Delta '=(m^2+1)^2+1>0$ với mọi m nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Theo định lý Vi-et ta có $x_1+x_2=m^2+2>0$ và $x_1.x_2=-m^2-2m-2=(-m-1)^2-3.$ Do đó $x_1.x_2< 0$ với mọi m. Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m. b) Với mọi m phương trình đã cho luôn có hai nghiệm $x_1,x_2.$ Ta có $(m^2+2)x_1x_2^2+(m^2+2m+2)x_2^2=-1$ $\Leftrightarrow x_2^2[(m^2+2)x_1+m^2+2m+2]=-1$ $\Leftrightarrow x_2^2[m^2(x_1+1)+2(x_1+1)+2m]=-1$ $\Leftrightarrow x_2^2(m+2)^2(x_1+1)=-1$ $\Leftrightarrow x_2^2(m+2)^2(x_1+1)=0$ $\Leftrightarrow x_1+1=0$ $\Leftrightarrow x_1=-1$ Thay $x=-1$ vào phương trình đã cho ta được $1+(m^2+2)-m^2-2m-2=0$ $\Leftrightarrow -2m+1=0$ $\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}.$