Giúp mình với!

Bài 7: Giả sử ba phương trình trên đều vô nghiệm, ta có: $a^2-4< 0$ $b^2-4< 0$ $c^2-4< 0$ Cộng vế theo vế ta có $(a^2+b^2+c^2)-12< 0$ Hay $13-12< 0$ (vô lý) Vậy giả sử sai, tức là trong ba phương trình đã cho luôn tồn tại ít nhất một phương trình có nghiệm. Bài 8: Để chứng minh rằng nếu \(a, b, c\) là ba số thực thỏa mãn \(a^2 + 4b^2 + 9c^2 = 14\), thì ít nhất một trong ba phương trình sau luôn có nghiệm: \[ \left\{ \begin{array}{l} x^2 + ax + 1 = 0 \\ x^2 + 2bx + 2 = 0 \\ x^2 + 3cx + 3 = 0 \end{array} \right. \] Ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng để chứng minh. Giả sử cả ba phương trình trên đều vô nghiệm. Điều này có nghĩa là các biệt thức của chúng đều âm: \[ \Delta_1 = a^2 - 4 < 0, \] \[ \Delta_2 = (2b)^2 - 8 < 0 \quad \text{hay} \quad 4b^2 - 8 < 0, \] \[ \Delta_3 = (3c)^2 - 12 < 0 \quad \text{hay} \quad 9c^2 - 12 < 0. \] Từ các bất đẳng thức trên, ta có: \[ a^2 < 4, \] \[ 4b^2 < 8 \quad \text{hay} \quad b^2 < 2, \] \[ 9c^2 < 12 \quad \text{hay} \quad c^2 < \frac{4}{3}. \] Bây giờ, ta cộng các bất đẳng thức này lại: \[ a^2 + 4b^2 + 9c^2 < 4 + 8 + 12 = 24. \] Nhưng theo giả thiết, ta có: \[ a^2 + 4b^2 + 9c^2 = 14. \] Điều này mâu thuẫn với \(a^2 + 4b^2 + 9c^2 < 24\). Do đó, giả sử ban đầu là sai, tức là ít nhất một trong ba phương trình trên luôn có nghiệm. Vậy, nếu \(a, b, c\) là ba số thực thỏa mãn \(a^2 + 4b^2 + 9c^2 = 14\), thì ít nhất một trong ba phương trình sau luôn có nghiệm: \[ \left\{ \begin{array}{l} x^2 + ax + 1 = 0 \\ x^2 + 2bx + 2 = 0 \\ x^2 + 3cx + 3 = 0 \end{array} \right. \] Bài 9: Phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên nên phương trình này có hai nghiệm thực. Do đó, ta có: \[ \Delta' \geq 0 \Leftrightarrow m^2 - m + 4 \geq 0 \quad \text{(luôn đúng)} \] Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm thực với mọi giá trị của \( m \). Theo định lý Vi-et, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2m \quad \text{và} \quad x_1 x_2 = m - 4 \] Vì \( x_1 \) và \( x_2 \) là các số nguyên, nên \( 2m \) cũng phải là số nguyên. Điều này đồng nghĩa với việc \( m \) phải là số hữu tỉ. Ta có: \[ x_1 + x_2 = 2m \Rightarrow m = \frac{x_1 + x_2}{2} \] Thay \( m \) vào phương trình \( x_1 x_2 = m - 4 \), ta được: \[ x_1 x_2 = \frac{x_1 + x_2}{2} - 4 \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: \[ 2x_1 x_2 = x_1 + x_2 - 8 \] Rearrange the equation: \[ 2x_1 x_2 - x_1 - x_2 = -8 \] Thêm 1 vào cả hai vế để hoàn thiện bình phương: \[ 2x_1 x_2 - x_1 - x_2 + 1 = -7 \] Viết lại dưới dạng: \[ (2x_1 - 1)(2x_2 - 1) = -7 \] Bây giờ, ta sẽ xét các cặp số nguyên \((2x_1 - 1)\) và \((2x_2 - 1)\) sao cho tích của chúng bằng -7: \[ (2x_1 - 1, 2x_2 - 1) = (1, -7), (-1, 7), (7, -1), (-7, 1) \] Từ đây, ta tìm được các cặp nghiệm \((x_1, x_2)\): \[ (x_1, x_2) = (1, -3), (-1, 4), (4, -1), (-3, 1) \] Từ các cặp nghiệm này, ta tìm được các giá trị của \( m \): \[ m = \frac{1 + (-3)}{2} = -1, \quad m = \frac{-1 + 4}{2} = \frac{3}{2}, \quad m = \frac{4 + (-1)}{2} = \frac{3}{2}, \quad m = \frac{-3 + 1}{2} = -1 \] Vậy, các giá trị của \( m \) để phương trình có hai nghiệm nguyên là: \[ m = -1 \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{3}{2} \] Bài 10: Phương trình đã cho có các nghiệm là số nguyên nên phương trình có hai nghiệm và hai nghiệm này đều là số nguyên. Ta có: $\Delta=(m+4)^2-8m=m^2+8m+16-8m=m^2+16.$ Để phương trình có nghiệm thì $\Delta \geq 0$. Ta thấy $m^2+16>0$ với mọi m nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m. Gọi hai nghiệm của phương trình là $x_1$ và $x_2$, ta có: $x_1+x_2=m+4$ $x_1.x_2=2m$ Từ đây suy ra $x_1.x_2$ chia hết cho 2, tức là $x_1$ và $x_2$ hoặc cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Nếu $x_1$ và $x_2$ cùng chẵn thì $x_1+x_2$ cũng chẵn, suy ra $m+4$ chẵn, suy ra m chẵn. Nếu $x_1$ và $x_2$ cùng lẻ thì $x_1+x_2$ cũng lẻ, suy ra $m+4$ lẻ, suy ra m lẻ. Vậy m có thể là số chẵn hoặc số lẻ. Xét trường hợp m chẵn: Giả sử $m=2k$ (với k là số nguyên). Thay vào phương trình ta có: $x^2-(2k+4)x+4k=0$ $x^2-(2k+4)x+4k=0$ $x^2-(2k+4)x+4k=0$ Phương trình này có nghiệm nguyên khi và chỉ khi $k=0$ hoặc $k=-2$. Xét trường hợp m lẻ: Giả sử $m=2k+1$ (với k là số nguyên). Thay vào phương trình ta có: $x^2-(2k+5)x+4k+2=0$ $x^2-(2k+5)x+4k+2=0$ $x^2-(2k+5)x+4k+2=0$ Phương trình này có nghiệm nguyên khi và chỉ khi $k=-1$ hoặc $k=-3$. Vậy m có thể nhận các giá trị sau: $m=0, m=-2, m=-1, m=-3$. Thử lại các giá trị của m, ta thấy chỉ có $m=0$ và $m=-2$ thỏa mãn điều kiện đề bài. Vậy m có thể nhận các giá trị sau: $m=0$ hoặc $m=-2$.