GIAI GIUP VOI A Bài 24: Cho biểu thức $A=\frac x{x+5}-\frac{7x-15}{25-x^2}+\frac3{x-5}$ và $B=x^2-2x-15$ với $x e\pm5.$,a) Rút gọn biểu thức A,b) Tính giá trị của biểu thức A biết $|2x-1|=9$,c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=A.B$,Bài 25: Cho biểu thức $A=(\frac{x-1}{x+3}+\frac2{x-3}+\frac{x^2+3}{9-x^2}):\frac{-2}{2x+1}.$,a) Rút gọn biểu thức A,b) Tính giá trị của A khi $|x-2|=1$,c) Tìm x để $A0$,d) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên nhỏ nhất.,Bài 26: Cho biểu thức $A=(\frac{1+2x}{x+2}-\frac x{x-2}+\frac{x^2+8}{4-x^2}):\frac{-5}{x+1}.$,a) Rút gọn biểu thức A,b) Tính giá trị của A biết $|x+2|=1$,c) Tìm x để $A

Question

GIAI GIUP VOI A Bài 24: Cho biểu thức $A=\frac x{x+5}-\frac{7x-15}{25-x^2}+\frac3{x-5}$ và $B=x^2-2x-15$ với $x
e\pm5.$,a) Rút gọn biểu thức A,b) Tính giá trị của biểu thức A biết $|2x-1|=9$,c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=A.B$,Bài 25: Cho biểu thức $A=(\frac{x-1}{x+3}+\frac2{x-3}+\frac{x^2+3}{9-x^2}):\frac{-2}{2x+1}.$,a) Rút gọn biểu thức A,b) Tính giá trị của A khi $|x-2|=1$,c) Tìm x để $A>0$,d) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên nhỏ nhất.,Bài 26: Cho biểu thức $A=(\frac{1+2x}{x+2}-\frac x{x-2}+\frac{x^2+8}{4-x^2}):\frac{-5}{x+1}.$,a) Rút gọn biểu thức A,b) Tính giá trị của A biết $|x+2|=1$,c) Tìm x để $A<1$,d) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên lớn nhất.

Accepted Answer

Bài 24: a) Rút gọn biểu thức A Điều kiện xác định của biểu thức A là $x \neq \pm 5$. Ta có: $$ A = \frac{x}{x+5} - \frac{7x-15}{25-x^2} + \frac{3}{x-5} $$ Phân tích mẫu số của phân thức thứ hai: $$ 25 - x^2 = (5 - x)(5 + x) $$ Quy đồng mẫu số chung của ba phân thức: $$ A = \frac{x(5 - x)}{(x + 5)(5 - x)} - \frac{7x - 15}{(5 - x)(5 + x)} + \frac{3(5 + x)}{(x - 5)(5 + x)} $$ Gộp các phân thức lại: $$ A = \frac{x(5 - x) - (7x - 15) + 3(5 + x)}{(x + 5)(5 - x)} $$ Rút gọn tử số: $$ A = \frac{5x - x^2 - 7x + 15 + 15 + 3x}{(x + 5)(5 - x)} $$ $$ A = \frac{-x^2 + x + 30}{(x + 5)(5 - x)} $$ Phân tích tử số thành nhân tử: $$ -x^2 + x + 30 = -(x^2 - x - 30) = -(x - 6)(x + 5) $$ Do đó: $$ A = \frac{-(x - 6)(x + 5)}{(x + 5)(5 - x)} $$ Rút gọn: $$ A = \frac{-(x - 6)}{5 - x} $$ $$ A = \frac{x - 6}{x - 5} $$ b) Tính giá trị của biểu thức A biết $|2x - 1| = 9$ Giải phương trình $|2x - 1| = 9$: $$ 2x - 1 = 9 \quad \text{hoặc} \quad 2x - 1 = -9 $$ $$ 2x = 10 \quad \text{hoặc} \quad 2x = -8 $$ $$ x = 5 \quad \text{hoặc} \quad x = -4 $$ Thay $x = 5$ vào biểu thức A: $$ A = \frac{5 - 6}{5 - 5} $$ Biểu thức này không xác định vì mẫu số bằng 0. Thay $x = -4$ vào biểu thức A: $$ A = \frac{-4 - 6}{-4 - 5} $$ $$ A = \frac{-10}{-9} $$ $$ A = \frac{10}{9} $$ c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = A \cdot B$ Biểu thức $P$ là: $$ P = \left(\frac{x - 6}{x - 5}\right) \cdot (x^2 - 2x - 15) $$ Phân tích $B$ thành nhân tử: $$ B = x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3) $$ Do đó: $$ P = \left(\frac{x - 6}{x - 5}\right) \cdot (x - 5)(x + 3) $$ Rút gọn: $$ P = (x - 6)(x + 3) $$ $$ P = x^2 + 3x - 6x - 18 $$ $$ P = x^2 - 3x - 18 $$ Để tìm giá trị nhỏ nhất của $P$, ta xét đồ thị của hàm số $P = x^2 - 3x - 18$. Đỉnh của parabol này nằm tại: $$ x = \frac{-b}{2a} = \frac{3}{2} $$ Thay $x = \frac{3}{2}$ vào biểu thức $P$: $$ P = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} - 18 $$ $$ P = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 18 $$ $$ P = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} - \frac{72}{4} $$ $$ P = \frac{9 - 18 - 72}{4} $$ $$ P = \frac{-81}{4} $$ $$ P = -20.25 $$ Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $-20.25$. Bài 25: a) Rút gọn biểu thức A Điều kiện xác định: $x \neq -3, x \neq 3, x \neq -\frac{1}{2}$ Ta có: $$ A = \left( \frac{x-1}{x+3} + \frac{2}{x-3} + \frac{x^2+3}{9-x^2} \right) : \frac{-2}{2x+1} $$ $$ = \left( \frac{x-1}{x+3} + \frac{2}{x-3} + \frac{x^2+3}{(3-x)(3+x)} \right) \cdot \frac{2x+1}{-2} $$ $$ = \left( \frac{(x-1)(3-x) + 2(3+x) + x^2+3}{(3-x)(3+x)} \right) \cdot \frac{2x+1}{-2} $$ $$ = \left( \frac{-x^2+4x-3+6+2x+x^2+3}{(3-x)(3+x)} \right) \cdot \frac{2x+1}{-2} $$ $$ = \left( \frac{6x+6}{(3-x)(3+x)} \right) \cdot \frac{2x+1}{-2} $$ $$ = \left( \frac{6(x+1)}{(3-x)(3+x)} \right) \cdot \frac{2x+1}{-2} $$ $$ = \frac{6(x+1)(2x+1)}{-2(3-x)(3+x)} $$ $$ = \frac{-3(x+1)(2x+1)}{(3-x)(3+x)} $$ b) Tính giá trị của A khi $ |x-2| = 1 $ Ta có $ |x-2| = 1 $ suy ra $ x-2 = 1 $ hoặc $ x-2 = -1 $ Do đó $ x = 3 $ hoặc $ x = 1 $ Với $ x = 3 $: Biểu thức A không xác định do mẫu số bằng 0. Với $ x = 1 $: $$ A = \frac{-3(1+1)(2 \cdot 1+1)}{(3-1)(3+1)} $$ $$ = \frac{-3 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 4} $$ $$ = \frac{-18}{8} $$ $$ = -\frac{9}{4} $$ c) Tìm x để $ A > 0 $ Ta có: $$ A = \frac{-3(x+1)(2x+1)}{(3-x)(3+x)} > 0 $$ Xét dấu của biểu thức này: - $ -3(x+1)(2x+1) > 0 $ khi $ (x+1)(2x+1) < 0 $ - $ (3-x)(3+x) > 0 $ khi $ -3 < x < 3 $ Từ đó ta có: $$ -1 < x < -\frac{1}{2} $$ d) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên nhỏ nhất. Ta có: $$ A = \frac{-3(x+1)(2x+1)}{(3-x)(3+x)} $$ Để A nhận giá trị nguyên nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nguyên của x sao cho biểu thức trên nhận giá trị nguyên nhỏ nhất. Thử các giá trị nguyên của x trong khoảng $ -1 < x < -\frac{1}{2} $: Với $ x = -1 $: $$ A = \frac{-3(-1+1)(2(-1)+1)}{(3-(-1))(3+(-1))} $$ $$ = \frac{-3 \cdot 0 \cdot (-1)}{4 \cdot 2} $$ $$ = 0 $$ Vậy giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên nhỏ nhất là $ x = -1 $. Bài 26: a) Rút gọn biểu thức A Điều kiện xác định của biểu thức A là $x \neq 2$ và $x \neq -2$. Biểu thức A có dạng: $$ A = \left( \frac{1+2x}{x+2} - \frac{x}{x-2} + \frac{x^2+8}{4-x^2} \right) : \frac{-5}{x+1}. $$ Trước hết, ta rút gọn phần tử số của biểu thức A: $$ \frac{1+2x}{x+2} - \frac{x}{x-2} + \frac{x^2+8}{4-x^2}. $$ Ta có: $$ \frac{x^2+8}{4-x^2} = \frac{x^2+8}{-(x^2-4)} = \frac{x^2+8}{-(x-2)(x+2)}. $$ Do đó, ta viết lại biểu thức trên dưới cùng một mẫu chung: $$ \frac{(1+2x)(x-2) - x(x+2) + (x^2+8)}{(x+2)(x-2)}. $$ Tiếp theo, ta mở rộng và rút gọn tử số: $$ (1+2x)(x-2) = x - 2 + 2x^2 - 4x = 2x^2 - 3x - 2, $$ $$ -x(x+2) = -x^2 - 2x, $$ $$ x^2 + 8. $$ Cộng tất cả các hạng tử lại: $$ 2x^2 - 3x - 2 - x^2 - 2x + x^2 + 8 = 2x^2 - x^2 + x^2 - 3x - 2x - 2 + 8 = 2x^2 - 5x + 6. $$ Vậy tử số của biểu thức A là $2x^2 - 5x + 6$, và mẫu số là $(x+2)(x-2)$. Do đó, biểu thức A trở thành: $$ A = \frac{2x^2 - 5x + 6}{(x+2)(x-2)} : \frac{-5}{x+1}. $$ Chia hai phân số bằng cách nhân với nghịch đảo: $$ A = \frac{2x^2 - 5x + 6}{(x+2)(x-2)} \cdot \frac{x+1}{-5}. $$ Rút gọn biểu thức: $$ A = \frac{(2x^2 - 5x + 6)(x+1)}{-5(x+2)(x-2)}. $$ b) Tính giá trị của A biết $ |x+2| = 1 $ Từ $ |x+2| = 1 $, ta có hai trường hợp: $$ x + 2 = 1 \quad \text{hoặc} \quad x + 2 = -1. $$ Trường hợp 1: $ x + 2 = 1 $ $$ x = -1. $$ Thay $ x = -1 $ vào biểu thức A: $$ A = \frac{(2(-1)^2 - 5(-1) + 6)(-1+1)}{-5((-1)+2)((-1)-2)}. $$ Tử số: $$ 2(1) + 5 + 6 = 2 + 5 + 6 = 13. $$ Mẫu số: $$ -5(1)(-3) = 15. $$ Do đó: $$ A = \frac{13 \cdot 0}{15} = 0. $$ Trường hợp 2: $ x + 2 = -1 $ $$ x = -3. $$ Thay $ x = -3 $ vào biểu thức A: $$ A = \frac{(2(-3)^2 - 5(-3) + 6)(-3+1)}{-5((-3)+2)((-3)-2)}. $$ Tử số: $$ 2(9) + 15 + 6 = 18 + 15 + 6 = 39. $$ Mẫu số: $$ -5(-1)(-5) = -25. $$ Do đó: $$ A = \frac{39 \cdot (-2)}{-25} = \frac{-78}{-25} = \frac{78}{25}. $$ c) Tìm x để $ A < 1 $ Ta có: $$ \frac{(2x^2 - 5x + 6)(x+1)}{-5(x+2)(x-2)} < 1. $$ Nhân cả hai vế với $-5(x+2)(x-2)$ (chú ý đổi dấu): $$ (2x^2 - 5x + 6)(x+1) > -5(x+2)(x-2). $$ Mở rộng và rút gọn: $$ 2x^3 - 5x^2 + 6x + 2x^2 - 5x + 6 > -5(x^2 - 4). $$ $$ 2x^3 - 3x^2 + x + 6 > -5x^2 + 20. $$ $$ 2x^3 - 3x^2 + x + 6 + 5x^2 - 20 > 0. $$ $$ 2x^3 + 2x^2 + x - 14 > 0. $$ d) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên lớn nhất. Ta đã có: $$ A = \frac{(2x^2 - 5x + 6)(x+1)}{-5(x+2)(x-2)}. $$ Để A nhận giá trị nguyên lớn nhất, ta cần tìm x sao cho tử số chia hết cho mẫu số. Kiểm tra các giá trị nguyên của x: $$ x = -1, -3, 1, 3. $$ Thay $ x = -1 $: $$ A = 0. $$ Thay $ x = -3 $: $$ A = \frac{78}{25}. $$ Thay $ x = 1 $: $$ A = \frac{(2(1)^2 - 5(1) + 6)(1+1)}{-5(1+2)(1-2)}. $$ Tử số: $$ 2 - 5 + 6 = 3. $$ Mẫu số: $$ -5(3)(-1) = 15. $$ Do đó: $$ A = \frac{3 \cdot 2}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}. $$ Thay $ x = 3 $: $$ A = \frac{(2(3)^2 - 5(3) + 6)(3+1)}{-5(3+2)(3-2)}. $$ Tử số: $$ 18 - 15 + 6 = 9. $$ Mẫu số: $$ -5(5)(1) = -25. $$ Do đó: $$ A = \frac{9 \cdot 4}{-25} = \frac{36}{-25} = -\frac{36}{25}. $$ Giá trị nguyên lớn nhất của A là $ \frac{78}{25} $ khi $ x = -3 $.