Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. a) Chứng minh rằng đường thẳng SC tạo với đáy một góc. Tính góc đó. b) Gọi H là hình...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh rằng đường thẳng SC tạo với đáy một góc. Tính góc đó. Để chứng minh rằng đường thẳng SC tạo với đáy một góc, ta cần tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy (ABC). - Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, do đó góc BAC = 90 độ và AB = AC = a. - SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC), do đó SA là đường cao của hình chóp. - Để tìm góc giữa SC và mặt phẳng (ABC), ta cần tìm hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABC). Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm A, do SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). - Do đó, hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABC) là đoạn AC. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) chính là góc giữa SC và AC. - Trong tam giác SAC, ta có: - SA = a (do SA vuông góc với mặt phẳng đáy) - AC = a (do tam giác ABC vuông cân tại A) Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác SAC vuông tại A, ta có: $$ Góc giữa SC và AC là góc SAC. Ta có: $$ Do đó, góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là 45 độ. b) Gọi H là hình chiếu của C lên đường thẳng SA. Tính khoảng cách từ C đến SA. - Vì H là hình chiếu của C lên SA, nên CH vuông góc với SA. - Trong tam giác vuông AHC, ta có: - AC = a - AH = $$ (do tam giác AHC vuông cân tại H) Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác AHC, ta có: $$ Vậy khoảng cách từ C đến SA là $$. c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). - Để tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB), ta cần tìm hình chiếu của C lên mặt phẳng (SAB). - Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên SA cũng vuông góc với đường thẳng AB trong mặt phẳng (SAB). - Do đó, khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) chính là độ dài đoạn CH, với H là hình chiếu của C lên SA. Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) là $$. Tóm lại: a) Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là 45 độ. b) Khoảng cách từ C đến SA là $$. c) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) là $$.