Cho tam giác ABC có A(2; 3), B(5; 7), C(4; 1). Một phép đồng dạng F biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ với điều kiện: F là hợp thành của phép quay tâm O(0;0), góc quay 90 độ ngược chiều kim đồng h...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. a) Viết công thức biểu diễn phép đồng dạng F Phép đồng dạng F là hợp thành của ba phép biến hình: 1. Phép quay tâm O(0;0), góc quay 90 độ ngược chiều kim đồng hồ: - Công thức: \( (x, y) \to (-y, x) \). 2. Phép vị tự tâm O với tỉ số k = 2: - Công thức: \( (x, y) \to (2x, 2y) \). 3. Phép tịnh tiến theo vectơ \( \mathbf{v} = (1, -3) \): - Công thức: \( (x, y) \to (x + 1, y - 3) \). Kết hợp ba phép biến hình trên, ta có công thức tổng quát của phép đồng dạng F: \[ (x, y) \to (-y, x) \to (-2y, 2x) \to (-2y + 1, 2x - 3) \] b) Tính tọa độ các điểm A’, B’, C’ Áp dụng công thức của phép đồng dạng F cho từng điểm: - Điểm A(2, 3): 1. Quay: \( (2, 3) \to (-3, 2) \) 2. Vị tự: \( (-3, 2) \to (-6, 4) \) 3. Tịnh tiến: \( (-6, 4) \to (-6 + 1, 4 - 3) = (-5, 1) \) - Điểm B(5, 7): 1. Quay: \( (5, 7) \to (-7, 5) \) 2. Vị tự: \( (-7, 5) \to (-14, 10) \) 3. Tịnh tiến: \( (-14, 10) \to (-14 + 1, 10 - 3) = (-13, 7) \) - Điểm C(4, 1): 1. Quay: \( (4, 1) \to (-1, 4) \) 2. Vị tự: \( (-1, 4) \to (-2, 8) \) 3. Tịnh tiến: \( (-2, 8) \to (-2 + 1, 8 - 3) = (-1, 5) \) Vậy tọa độ các điểm A', B', C' lần lượt là: \( A'(-5, 1) \), \( B'(-13, 7) \), \( C'(-1, 5) \). c) Chứng minh rằng ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng hay không. Nếu không, tính diện tích tam giác A’B’C’. Để kiểm tra ba điểm có thẳng hàng hay không, ta tính diện tích tam giác A'B'C' bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Với \( A'(-5, 1) \), \( B'(-13, 7) \), \( C'(-1, 5) \), ta có: \[ S = \frac{1}{2} \left| -5(7 - 5) + (-13)(5 - 1) + (-1)(1 - 7) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -5 \times 2 - 13 \times 4 - 1 \times (-6) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -10 - 52 + 6 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -56 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \times 56 = 28 \] Vì diện tích tam giác A'B'C' là 28, khác 0, nên ba điểm A', B', C' không thẳng hàng. Vậy diện tích tam giác A'B'C' là 28.