giải hệ phương trình x(x²+4y²)=5y y(4y²-x)=3x

$\begin{cases} x(x^2 + 4y^2) = 5y & (1) \\y(4y^2 - x) = 3x & (2) \end{cases}$

Xét $x = 0$:

Thay vào (1): $0 = 5y \Rightarrow y = 0$.

Thử $(0, 0)$ vào (2): $0 = 0$ (đúng).

$\Rightarrow (0, 0)$ là một nghiệm.

Xét $x \neq 0, y \neq 0$:

$\begin{cases} 3x^2(x^2 + 4y^2) = 15xy \\5y^2(4y^2 - x) = 15xy \end{cases}$

$\Rightarrow 3x^2(x^2 + 4y^2) = 5y^2(4y^2 - x)$

$\Leftrightarrow 3x^4 + 12x^2y^2 = 20y^4 - 5xy^2$

$\Leftrightarrow 3\left(\frac{x}{y}\right)^4 + 12\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 5\left(\frac{x}{y}\right) - 20 = 0$

Đặt $t = \frac{x}{y}$, ta có: $3t^4 + 12t^2 + 5t - 20 = 0$.

Phương trình có nghiệm $t = 1$.

$\Rightarrow \frac{x}{y} = 1 \Rightarrow x = y$.

Thay $x = y$ vào (2):

$x(4x^2 - x) = 3x$

$\Leftrightarrow 4x^2 - x = 3$ (vì $x \neq 0$)

$\Leftrightarrow 4x^2 - x - 3 = 0$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \\ x = -\frac{3}{4} \end{cases}$

  Với $x = 1 \Rightarrow y = 1$. Nghiệm $(1, 1)$.

  Với $x = -\frac{3}{4} \Rightarrow y = -\frac{3}{4}$. Thay vào (1) không thỏa mãn.

Hệ phương trình có 2 nghiệm: $(0, 0)$ và $(1, 1)$.