Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = 2a, AD = 4a. Cạnh S A = 4a vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của S Ava˘SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM

Để tính thể tích khối chóp \( S.BCNM \), ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tọa độ các điểm Giả sử hệ trục tọa độ \( Oxyz \) như sau: - \( A(0, 0, 0) \) - \( B(2a, 0, 0) \) - \( D(0, 4a, 0) \) - \( C(2a, 4a, 0) \) (vì \( ABCD \) là hình thang vuông tại \( A \) và \( B \)) Điểm \( S \) có tọa độ \( (0, 0, 4a) \) vì \( SA = 4a \) và vuông góc với đáy. Bước 2: Xác định tọa độ các điểm M và N - \( M \) là trung điểm của \( SA \), nên tọa độ của \( M \) là: \[ M\left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{4a + 0}{2}\right) = (0, 0, 2a) \] - \( N \) là trung điểm của \( SD \), nên tọa độ của \( N \) là: \[ N\left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 4a}{2}, \frac{4a + 0}{2}\right) = (0, 2a, 2a) \] Bước 3: Tính thể tích khối chóp \( S.BCNM \) Thể tích khối chóp \( S.BCNM \) được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao} \] Tính diện tích đáy \( \triangle BCN \) - Tọa độ các điểm: - \( B(2a, 0, 0) \) - \( C(2a, 4a, 0) \) - \( N(0, 2a, 2a) \) Diện tích tam giác \( BCN \) được tính bằng công thức: \[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_B & y_B & z_B \\ x_C & y_C & z_C \\ x_N & y_N & z_N \end{vmatrix} \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} 2a & 0 & 0 \\ 2a & 4a & 0 \\ 0 & 2a & 2a \end{vmatrix} \right| \] Tính định thức: \[ = \frac{1}{2} \left| 2a \left(4a \cdot 2a - 0 \cdot 2a\right) - 0 + 0 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 2a \cdot 8a^2 \right| = \frac{1}{2} \cdot 16a^3 = 8a^3 \] Tính chiều cao từ \( S \) đến mặt phẳng \( BCN \) Vì \( SA \) vuông góc với đáy \( ABCD \), nên chiều cao từ \( S \) đến mặt phẳng \( BCN \) chính là độ dài \( SA = 4a \). Kết luận Thể tích khối chóp \( S.BCNM \) là: \[ V = \frac{1}{3} \times 8a^3 \times 4a = \frac{32a^4}{3} \] Vậy, thể tích khối chóp \( S.BCNM \) là \( \frac{32a^4}{3} \).