Giải hộ mk đề thi chuyên toán Hà Nội năm nay

Câu I: 1) Tìm số học sinh nữ khối 9 đã đăng kí thi đấu: Dựa vào biểu đồ, ta có số liệu học sinh ban đầu: - Khối 6: 8 nữ, 12 nam - Khối 7: 7 nữ, 10 nam - Khối 8: 5 nữ, 8 nam Tổng số học sinh ban đầu: - Tổng số nữ: \(8 + 7 + 5 = 20\) - Tổng số nam: \(12 + 10 + 8 = 30\) Tổng số học sinh ban đầu: \(20 + 30 = 50\) Sau khi có thêm 6 học sinh nam khối 9 và một số học sinh nữ khối 9, tổng số học sinh là \(50 + 6 + x\) (với \(x\) là số học sinh nữ khối 9). Tỉ lệ học sinh nữ so với tổng số học sinh không thay đổi: \[ \frac{20}{50} = \frac{20 + x}{56 + x} \] Giải phương trình: \[ \frac{2}{5} = \frac{20 + x}{56 + x} \] Nhân chéo: \[ 2(56 + x) = 5(20 + x) \] \[ 112 + 2x = 100 + 5x \] \[ 112 - 100 = 5x - 2x \] \[ 12 = 3x \] \[ x = 4 \] Vậy, số học sinh nữ khối 9 đã đăng kí thi đấu là 4. 2) Tính giá trị của biểu thức \(P\): Điều kiện: \(a, b, c \neq 0\) và \(a + b + c \neq 0\), \(ab + bc + ca = 0\). Biểu thức cần tính: \[ P = \frac{1}{a^2 - bc} + \frac{1}{b^2 - ca} + \frac{1}{c^2 - ab} \] Từ \(ab + bc + ca = 0\), ta có: \[ ab = -bc - ca \] Thay vào biểu thức: \[ a^2 - bc = a^2 + ab + ac \] \[ b^2 - ca = b^2 + bc + ab \] \[ c^2 - ab = c^2 + ca + bc \] Do đó: \[ P = \frac{1}{a(a+b+c)} + \frac{1}{b(a+b+c)} + \frac{1}{c(a+b+c)} \] \[ P = \frac{1}{a+b+c} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \] Vì \(ab + bc + ca = 0\), ta có: \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{ab + bc + ca}{abc} = 0 \] Do đó: \[ P = \frac{1}{a+b+c} \times 0 = 0 \] Vậy, giá trị của biểu thức \(P\) là 0. Câu II: 1) Ta có $3a^2-bc,3b^2-ca,3c^2-ab$ đều chia hết cho 4 nên $3a^2-bc,3b^2-ca,3c^2-ab$ đều chẵn. Từ đây suy ra $bc,ca,ab$ đều chẵn. Do đó trong ba số a,b,c phải có ít nhất một số chẵn. Giả sử a chẵn, ta có $3a^2-bc$ chia hết cho 4 nên bc chia hết cho 4. Mà bc chia hết cho 4 nên trong hai số b,c phải có ít nhất một số chẵn. Như vậy trong ba số a,b,c phải có ít nhất hai số chẵn. Giả sử a,b chẵn, ta có $3b^2-ca$ chia hết cho 4 nên ca chia hết cho 4. Mà a chẵn nên c chẵn. Vậy a,b,c đều chẵn nên abc chia hết cho 8. 2) Ta có $2(2x-y)(y-x)^2=15x-7y+7$ Ta thấy vế trái chia hết cho 2 nên vế phải cũng chia hết cho 2. Suy ra $15x-7y+7$ chia hết cho 2. Từ đây suy ra $15x-7y$ lẻ. Mà $15x$ lẻ nên $7y$ chẵn. Suy ra y chẵn. Đặt $y=2k$, ta có $2(2x-2k)(2k-x)^2=15x-14k+7$ Hay $4(x-k)(2k-x)^2=15x-14k+7$ Từ đây suy ra $15x-14k+7$ chia hết cho 4. Suy ra $15x-14k$ chia hết cho 4. Mà $15x$ chia 4 dư 3 nên $14k$ chia 4 dư 3. Suy ra $k$ chia 4 dư 3. Đặt $k=4m+3$, ta có $15x-14(4m+3)=4n$ Hay $15x=4n+56m+42$ Suy ra $15x$ chia 4 dư 2. Mà $15x$ chia 4 dư 3 nên vô lý. Vậy không tồn tại cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn đề bài. Câu III: 1) a) Ta có: $a^2b+b^2c+c^2a+16=ab^2+bc^2+ca^2$ $\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2-a^2b-b^2c-c^2a=16$ $\Leftrightarrow ab(b-a)+bc(c-b)+ca(a-c)=16$ $\Leftrightarrow ab(b-a)-bc(b-c)-ca(c-a)=16$ Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu IV: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. 1) Chứng minh ba điểm T, H, K thẳng hàng. - Đầu tiên, ta cần nhớ rằng \(AK\) là đường kính của đường tròn \((O)\), do đó \( \angle ATK = 90^\circ \) vì \(T\) nằm trên đường tròn và \(AK\) là đường kính. - Ta có \(AD\) và \(CF\) là hai đường cao của tam giác \(ABC\), do đó \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). - Từ tính chất của trực tâm, ta có \(AH \perp BC\). - Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(MH\) là đường trung bình của tam giác \(AHC\), do đó \(MH \parallel AD\). - Từ đó, ta có \(MH\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(T\), và \(T\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(M\). - Do đó, \(T, H, K\) thẳng hàng vì \(AK\) là đường kính và \(T\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(M\). 2) Chứng minh đường thẳng NE song song với đường thẳng BF. - Đầu tiên, ta có \(E\) là điểm trên đường thẳng vuông góc với \(AM\) tại \(B\), do đó \(BE \perp AM\). - Gọi \(G\) là giao điểm của \(BE\) và \(AD\). - Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MDG\) và tam giác \(ADC\), chúng cắt nhau tại \(D\) và \(N\). - Theo định lý về góc nội tiếp, ta có \(\angle MDG = \angle MNG\) và \(\angle ADC = \angle ANC\). - Do đó, \(\angle MNG = \angle ANC\), suy ra \(NE \parallel BF\) vì \(NE\) và \(BF\) cùng vuông góc với \(AM\). 3) Chứng minh ba đường thẳng MX, TD và AN đồng quy. - Kẻ dây cung \(AX\) của đường tròn \((O)\) sao cho \(AX \parallel BC\). - Vì \(AX \parallel BC\), nên \(MX\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), do đó \(MX\) đi qua trung điểm của \(BC\). - Xét tam giác \(ATD\), ta có \(TD\) là đường cao từ \(T\) đến \(AD\). - Đường thẳng \(AN\) là đường cao của tam giác \(ADC\). - Do đó, ba đường thẳng \(MX\), \(TD\), và \(AN\) đồng quy tại trực tâm của tam giác \(ATD\). Với các lập luận trên, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán. Câu V: 1) Giả sử số học sinh trường A tham dự buổi liên hoan là 25 học sinh. Mỗi học sinh trường A quen với đúng 5 học sinh khác cũng của trường A nên số cặp quen biết giữa các học sinh trường A là $\frac{25 \times 5}{2}$. Mỗi học sinh trường A quen với đúng 4 học sinh trường B nên số cặp quen biết giữa các học sinh trường A và trường B là $25 \times 4$. Mỗi học sinh trường B quen với đúng 3 học sinh trường A nên số cặp quen biết giữa các học sinh trường A và trường B là $\frac{x \times 3}{2}$. Do đó ta có phương trình: $\frac{25 \times 5}{2} + 25 \times 4 = \frac{x \times 3}{2}$ Giải phương trình trên ta được $x = 116,67$. Như vậy, số học sinh trường B tham dự buổi liên hoan là 116,67 học sinh. Tổng số học sinh của hai trường tham dự buổi liên hoan là $25 + 116,67 = 141,67$ học sinh. Như vậy, tổng số học sinh của hai trường tham dự buổi liên hoan là 141,67 học sinh, vượt quá 80 học sinh. Vì vậy, số học sinh trường A tham dự buổi liên hoan không thể là 25 học sinh. 2) Giả sử số học sinh trường A tham dự buổi liên hoan là x học sinh. Mỗi học sinh trường A quen với đúng 5 học sinh khác cũng của trường A nên số cặp quen biết giữa các học sinh trường A là $\frac{x \times 5}{2}$. Mỗi học sinh trường A quen với đúng 4 học sinh trường B nên số cặp quen biết giữa các học sinh trường A và trường B là $x \times 4$. Mỗi học sinh trường B quen với đúng 3 học sinh trường A nên số cặp quen biết giữa các học sinh trường A và trường B là $\frac{y \times 3}{2}$. Do đó ta có phương trình: $\frac{x \times 5}{2} + x \times 4 = \frac{y \times 3}{2}$ Giải phương trình trên ta được $y = \frac{13x}{3}$. Tổng số học sinh của hai trường tham dự buổi liên hoan là $x + \frac{13x}{3} = \frac{16x}{3}$. Để tổng số học sinh của hai trường tham dự buổi liên hoan không vượt quá 80 học sinh, ta có bất phương trình: $\frac{16x}{3} \leq 80$ Giải bất phương trình trên ta được $x \leq 15$. Như vậy, số học sinh trường A tham dự buổi liên hoan nhiều nhất là 15 học sinh. Số học sinh trường B tham dự buổi liên hoan là $\frac{13 \times 15}{3} = 65$ học sinh. Tổng số học sinh của hai trường tham dự buổi liên hoan là $15 + 65 = 80$ học sinh. Vì vậy, tổng số học sinh của hai trường tham dự buổi liên hoan có thể nhiều nhất là 80 học sinh.