ai bt k ạ xxxx

a) \( D = \frac{2}{\sqrt{3}} - \sqrt{27} \) Ta có: \[ \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \] \[ \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3 \sqrt{3} \] Do đó: \[ D = \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{9 \sqrt{3}}{3} = \frac{-7 \sqrt{3}}{3} \] b) \( E = \sqrt{\frac{5}{3}} + \sqrt{60} \) Ta có: \[ \sqrt{\frac{5}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15}}{3} \] \[ \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2 \sqrt{15} \] Do đó: \[ E = \frac{\sqrt{15}}{3} + 2 \sqrt{15} = \frac{\sqrt{15}}{3} + \frac{6 \sqrt{15}}{3} = \frac{7 \sqrt{15}}{3} \] c) \( C = \frac{1}{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{18} \) Ta có: \[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ 2 \sqrt{18} = 2 \cdot \sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3 \sqrt{2} = 6 \sqrt{2} \] Do đó: \[ C = \frac{\sqrt{2}}{2} + 6 \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{12 \sqrt{2}}{2} = \frac{13 \sqrt{2}}{2} \] d) \( F = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{24} \) Ta có: \[ \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \] \[ \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2 \sqrt{6} \] Do đó: \[ F = \frac{\sqrt{6}}{2} + 2 \sqrt{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{4 \sqrt{6}}{2} = \frac{5 \sqrt{6}}{2} \] e) \( G = \frac{2}{\sqrt{5} + 2} + \sqrt{45} \) Ta có: \[ \frac{2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{2 (\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \frac{2 (\sqrt{5} - 2)}{5 - 4} = 2 (\sqrt{5} - 2) = 2 \sqrt{5} - 4 \] \[ \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3 \sqrt{5} \] Do đó: \[ G = 2 \sqrt{5} - 4 + 3 \sqrt{5} = 5 \sqrt{5} - 4 \] f) \( H = \frac{4}{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{48} \) Ta có: \[ \frac{4}{2 - \sqrt{3}} = \frac{4 (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{4 (2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 4 (2 + \sqrt{3}) = 8 + 4 \sqrt{3} \] \[ \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4 \sqrt{3} \] Do đó: \[ H = 8 + 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} = 8 \] Bài tập 3.52: a) Ta có: \[ A = 4\sqrt{x} + 2\sqrt{x^2} - \sqrt{16x} \] \[ = 4\sqrt{x} + 2|x| - 4\sqrt{x} \] Vì \( x \geq 0 \), nên \( |x| = x \): \[ = 4\sqrt{x} + 2x - 4\sqrt{x} \] \[ = 2x \] b) Ta có: \[ B = 2\sqrt{x} - 3\sqrt{x} - \sqrt{25x} \] \[ = 2\sqrt{x} - 3\sqrt{x} - 5\sqrt{x} \] \[ = (2 - 3 - 5)\sqrt{x} \] \[ = -6\sqrt{x} \] c) Ta có: \[ C = \sqrt{25x + 25} - \sqrt{9x + 9} + \sqrt{4x + 4} \] \[ = \sqrt{25(x + 1)} - \sqrt{9(x + 1)} + \sqrt{4(x + 1)} \] \[ = 5\sqrt{x + 1} - 3\sqrt{x + 1} + 2\sqrt{x + 1} \] \[ = (5 - 3 + 2)\sqrt{x + 1} \] \[ = 4\sqrt{x + 1} \] d) Ta có: \[ D = \sqrt{25x - 25} - \sqrt{9x - 9} + \sqrt{4x - 4} \] \[ = \sqrt{25(x - 1)} - \sqrt{9(x - 1)} + \sqrt{4(x - 1)} \] \[ = 5\sqrt{x - 1} - 3\sqrt{x - 1} + 2\sqrt{x - 1} \] \[ = (5 - 3 + 2)\sqrt{x - 1} \] \[ = 4\sqrt{x - 1} \] e) Ta có: \[ E = \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} \] Nhân tử số và mẫu số với \( \sqrt{a} + 1 \): \[ E = \frac{(a - \sqrt{a})(\sqrt{a} + 1)}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)} \] \[ = \frac{a\sqrt{a} + a - \sqrt{a}\sqrt{a} - \sqrt{a}}{a - 1} \] \[ = \frac{a\sqrt{a} + a - a - \sqrt{a}}{a - 1} \] \[ = \frac{a\sqrt{a} - \sqrt{a}}{a - 1} \] \[ = \frac{\sqrt{a}(a - 1)}{a - 1} \] \[ = \sqrt{a} \] f) Ta có: \[ F = \frac{a - 2\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 2} \] Nhân tử số và mẫu số với \( \sqrt{a} + 2 \): \[ F = \frac{(a - 2\sqrt{a})(\sqrt{a} + 2)}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)} \] \[ = \frac{a\sqrt{a} + 2a - 2\sqrt{a}\sqrt{a} - 4\sqrt{a}}{a - 4} \] \[ = \frac{a\sqrt{a} + 2a - 2a - 4\sqrt{a}}{a - 4} \] \[ = \frac{a\sqrt{a} - 4\sqrt{a}}{a - 4} \] \[ = \frac{\sqrt{a}(a - 4)}{a - 4} \] \[ = \sqrt{a} \] Bài tập 3.53: Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 1 \). Ta có: \[ A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1} \] Theo đề bài, ta cần tìm \( x \) sao cho \( A = 2 \): \[ \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1} = 2 \] Nhân cả hai vế với \( \sqrt{x} - 1 \) (với điều kiện \( \sqrt{x} - 1 \neq 0 \)): \[ \sqrt{x} + 2 = 2 (\sqrt{x} - 1) \] Phân phối \( 2 \) vào vế phải: \[ \sqrt{x} + 2 = 2\sqrt{x} - 2 \] Chuyển \( \sqrt{x} \) sang vế phải và chuyển \( -2 \) sang vế trái: \[ 2 + 2 = 2\sqrt{x} - \sqrt{x} \] Rút gọn: \[ 4 = \sqrt{x} \] Bình phương cả hai vế: \[ 16 = x \] Kiểm tra điều kiện \( x \geq 0, x \neq 1 \): \[ x = 16 \] thỏa mãn điều kiện. Vậy, giá trị của \( x \) là 16. Bài tập 3.54: Ta có $B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$ với $x > 0.$ Để $B = 2,$ ta có phương trình: $ \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} = 2 $ Nhân cả hai vế với $\sqrt{x}$ để loại bỏ mẫu số: $ \sqrt{x} + 1 = 2\sqrt{x} $ Chuyển $\sqrt{x}$ sang vế phải: $ 1 = 2\sqrt{x} - \sqrt{x} $ Rút gọn: $ 1 = \sqrt{x} $ Bình phương cả hai vế: $ 1^2 = (\sqrt{x})^2 $ Do đó: $ 1 = x $ Vậy $x = 1$ là giá trị thỏa mãn điều kiện $B = 2.$ Bài tập 3.55: Điều kiện xác định: \( x > 0 \). Ta có phương trình: \[ \frac{x + 2}{\sqrt{x}} = 3 \] Nhân cả hai vế với \( \sqrt{x} \): \[ x + 2 = 3\sqrt{x} \] Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có \( t > 0 \) và \( x = t^2 \). Thay vào phương trình trên: \[ t^2 + 2 = 3t \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ t^2 - 3t + 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t^2 - 3t + 2 = 0 \] \[ (t - 1)(t - 2) = 0 \] Từ đây ta có: \[ t = 1 \quad \text{hoặc} \quad t = 2 \] Do \( t = \sqrt{x} \), nên: \[ \sqrt{x} = 1 \quad \text{hoặc} \quad \sqrt{x} = 2 \] Bình phương cả hai vế: \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 4 \] Kiểm tra điều kiện \( x > 0 \): - Với \( x = 1 \): Đúng. - Với \( x = 4 \): Đúng. Vậy, các giá trị của \( x \) thỏa mãn phương trình \( A = 3 \) là: \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 4 \] Bài tập 3.56: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định của biểu thức \( B \). 2. Giải phương trình \( B = 4 \) để tìm giá trị của \( x \). Bước 1: Xác định điều kiện xác định của biểu thức \( B \) Biểu thức \( B = \frac{x+4}{\sqrt{x}} \) có chứa căn thức và phân thức, do đó cần đảm bảo rằng: - \( x > 0 \) (vì \( \sqrt{x} \) phải dương). Bước 2: Giải phương trình \( B = 4 \) Ta có phương trình: \[ \frac{x+4}{\sqrt{x}} = 4 \] Nhân cả hai vế của phương trình với \( \sqrt{x} \) để loại bỏ mẫu số: \[ x + 4 = 4\sqrt{x} \] Đặt \( t = \sqrt{x} \), suy ra \( t^2 = x \). Phương trình trở thành: \[ t^2 + 4 = 4t \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ t^2 - 4t + 4 = 0 \] Phương trình trên là một phương trình bậc hai. Ta giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm hoặc nhận thấy đây là một phương trình hoàn chỉnh: \[ t^2 - 4t + 4 = (t - 2)^2 = 0 \] Do đó: \[ t - 2 = 0 \] \[ t = 2 \] Vì \( t = \sqrt{x} \), nên: \[ \sqrt{x} = 2 \] \[ x = 2^2 \] \[ x = 4 \] Kiểm tra lại điều kiện xác định: - \( x = 4 \) thỏa mãn điều kiện \( x > 0 \). Vậy, giá trị của \( x \) để \( B = 4 \) là: \[ x = 4 \]