Cho $a,b$ là 2 số nguyên dương khác nhau, thỏa mãn $2a^2+a=3b^2+b$. CMR: $\frac{a-b}{2a+2b+1}$.

Question

minhthu_ · Accepted Answer

{"userId":5183859,"userName":"Bùi Ngọc Diễm"}

Ta có: $$2a^2+a=3b^2+b$$

⇔ $$2a^2+a-2b^2-b=b^2$$

⇔ $$\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2$$

Gọi $$\left(a-b;2a+2b+1\right)=d$$

Ta có: $$a-b$$ ⁝ $$d$$; $$2a+2b+1$$ ⁝ $$d$$

⇒ $$\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)$$ ⁝ $$d^2$$

⇒ $$b^2$$ ⁝ $$d^2$$

⇒ $$b$$ ⁝ $$d$$

Mà $$a-b$$ ⁝ d⇒ $$a$$ ⁝ $$d$$

Vì $$a$$ ⁝ $$d$$; $$b$$ ⁝ $$d$$; $$2a+2b+1$$ ⁝ d

⇒ $$1$$ ⁝ d

Thì $$d=1$$

Vậy phân số $$\frac{a-b}{2a+2b+1}$$ tối giản.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định điều kiện cho $a$ và $b$.
2. Chứng minh rằng $\frac{a-b}{2a+2b+1}$ là một phân số tối giản.

Bước 1: Xác định điều kiện cho $a$ và $b$

Cho $a$ và $b$ là hai số nguyên dương khác nhau, thỏa mãn:
$$ 2a^2 + a = 3b^2 + b $$

Bước 2: Chứng minh rằng $\frac{a-b}{2a+2b+1}$ là một phân số tối giản

Giả sử $d$ là ước chung của $a - b$ và $2a + 2b + 1$. Ta có:
$$ d \mid (a - b) $$
$$ d \mid (2a + 2b + 1) $$

Từ $d \mid (a - b)$, ta suy ra:
$$ d \mid (2(a - b)) $$
$$ d \mid (2a - 2b) $$

Bây giờ, ta xét:
$$ d \mid (2a + 2b + 1) $$
$$ d \mid (2a - 2b) $$

Cộng hai biểu thức trên:
$$ d \mid [(2a + 2b + 1) + (2a - 2b)] $$
$$ d \mid (4a + 1) $$

Tương tự, trừ hai biểu thức trên:
$$ d \mid [(2a + 2b + 1) - (2a - 2b)] $$
$$ d \mid (4b + 1) $$

Do đó, $d$ cũng là ước chung của $4a + 1$ và $4b + 1$. Vì $a$ và $b$ là các số nguyên dương khác nhau, nên $4a + 1$ và $4b + 1$ không có ước chung nào ngoài 1. Do đó, $d = 1$.

Vậy $\frac{a-b}{2a+2b+1}$ là một phân số tối giản.

Kết luận

Phân số $\frac{a-b}{2a+2b+1}$ là một phân số tối giản.