Cho điểm A ngoài đường tròn tâm (0; 4 cm) thỏa mãn OA = 6 cm. Kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC.

a) (TH) Chứng minh: AO vuông góc với BC tại H.

b) (VD) Tính độ dài dây BC.

Question

Cho điểm A ngoài đường tròn tâm (0; 4 cm) thỏa mãn OA = 6 cm. Kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC.

a) (TH) Chứng minh: AO vuông góc với BC tại H.

b) (VD) Tính độ dài dây BC.

amy cung thiên bình · Accepted Answer

a) Chứng minh $AO \perp BC$ AO⊥BC tại $H$ H

Vì $AB, AC$ AB,AC là hai tiếp tuyến nên:

$OB \perp AB$ OB⊥AB, $OC \perp AC$ OC⊥AC

$OB = OC$ OB=OC (bán kính)

$AB = AC$ AB=AC (hai tiếp tuyến xuất phát từ một điểm)

Suy ra $O$ O và $A$ A đều cách đều $B$ B và $C$ C
$\Rightarrow AO$ ⇒AO là đường trung trực của $BC$ BC

Do đó $AO \perp BC$ AO⊥BC tại $H$ H.

b) Tính độ dài dây $BC$ BC

Xét tam giác vuông $AOB$ AOB:

$AB = \sqrt{OA^2 - OB^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

AB=OA2−OB2=62−42=20=25

Trong tam giác vuông $AOB$ AOB:

$\sin \angle BOA = \frac{AB}{OA} = \frac{2\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

sin∠BOA=OAAB=625=35

Dây $BC$ BC chắn góc ở tâm $\angle BOC = 2\angle BOA$ ∠BOC=2∠BOA

$BC = 2R \sin \angle BOA = 2 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{8\sqrt{5}}{3} ext{ cm}$

BC=2Rsin∠BOA=2⋅4⋅35=385 cm
a) $AO \perp BC$ AO⊥BC tại $H$ H
b) $BC = \dfrac{8\sqrt{5}}{3}$ BC=385 cm

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

a) Chứng minh: AO vuông góc với BC tại H.

1. Vì AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C, nên ta có:
   - $ OB \perp AB $
   - $ OC \perp AC $

2. Do đó, tam giác $ OAB $ và tam giác $ OAC $ là các tam giác vuông tại B và C.

3. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau từ một điểm ngoài đường tròn, ta có:
   - $ AB = AC $

4. Xét tam giác $ \triangle OAB $ và $ \triangle OAC $, ta có:
   - $ OB = OC $ (bán kính đường tròn)
   - $ AB = AC $ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
   - $ OA $ là cạnh chung

5. Do đó, $ \triangle OAB \cong \triangle OAC $ (cạnh - góc - cạnh).

6. Suy ra, $ \angle OAB = \angle OAC $.

7. Vì $ \angle OAB + \angle OAC = 180^\circ $ (góc kề bù), nên $ \angle OAB = \angle OAC = 90^\circ $.

8. Do đó, $ AO $ là đường trung trực của $ BC $, nên $ AO \perp BC $ tại H.

b) Tính độ dài dây BC.

1. Xét tam giác vuông $ \triangle OAB $ với $ OB = 4 $ cm (bán kính) và $ OA = 6 $ cm.

2. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $ \triangle OAB $:
   $$
   AB^2 = OA^2 - OB^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20
   $$
   $$
   AB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ cm}
   $$

3. Tương tự, $ AC = 2\sqrt{5} $ cm.

4. Vì $ AB = AC $, nên $ BC = 2 \times AB \times \sin(\angle BAC) $.

5. Do $ \angle BAC = 90^\circ $, nên $ \sin(\angle BAC) = 1 $.

6. Suy ra, $ BC = 2 \times 2\sqrt{5} \times 1 = 4\sqrt{5} \text{ cm} $.

Vậy, độ dài dây $ BC $ là $ 4\sqrt{5} $ cm.

Cho điểm A ngoài đường tròn tâm (0; 4 cm) thỏa mãn OA = 6 cm. Kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC. a) (TH) Chứng minh: AO vuông góc...

a) Chứng minh AO⊥BCAO \perp BCAO⊥BC tại HHH

b) Tính độ dài dây BCBCBC

a) Chứng minh $AO \perp BC$ AO⊥BC tại $H$ H

b) Tính độ dài dây $BC$ BC