THI VÀO 10 THCS&THPT NGUYỄN TẤT THÀNH 2024 - Đề số 1 (Tiếp)

Câu 9: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. 1) Chứng minh hai tứ giác AEHF và BCEF nội tiếp: - Tứ giác AEHF nội tiếp: - Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC, nên chúng cắt nhau tại trực tâm H. - Do đó, góc \( \angle AEF = \angle AHF = 90^\circ \). - Tương tự, góc \( \angle AFE = \angle AHE = 90^\circ \). - Vì hai góc đối diện của tứ giác AEHF đều là góc vuông, nên tứ giác AEHF nội tiếp. - Tứ giác BCEF nội tiếp: - Vì E và F là chân các đường cao từ B và C, nên \( \angle BEF = \angle BCF = 90^\circ \). - Do đó, tứ giác BCEF có hai góc đối diện là góc vuông, nên tứ giác BCEF nội tiếp. 2) Chứng minh \( IE \cdot IF = IB \cdot IC = IK \cdot IA \) và \( HK \perp AI \): - Chứng minh \( IE \cdot IF = IB \cdot IC \): - Vì tứ giác BCEF nội tiếp, theo định lý về tứ giác nội tiếp, ta có: \[ IE \cdot IF = IB \cdot IC \] - Chứng minh \( IB \cdot IC = IK \cdot IA \): - Theo định lý về đường tròn, vì K là điểm thứ hai mà AI cắt đường tròn (O), ta có: \[ IB \cdot IC = IK \cdot IA \] - Chứng minh \( HK \perp AI \): - Vì K là điểm thứ hai mà AI cắt đường tròn (O), và H là trực tâm của tam giác ABC, nên AI là đường đối trung của tam giác AHK. - Do đó, \( HK \perp AI \). 3) Chứng minh trung điểm của BC thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác KFC: - Gọi M là trung điểm của BC. - Vì M là trung điểm của BC, nên M là tâm của đường tròn chín điểm của tam giác ABC. - Đường tròn chín điểm đi qua chân các đường cao D, E, F và trung điểm của các cạnh tam giác ABC. - Do đó, M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác KFC vì K, F, C đều nằm trên đường tròn chín điểm. Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán. Câu 10: 1) Ta có $x^2+xy-2y^2-7=0$ Hay $(x-y)(2x+y)=7.$ Do x, y là các số tự nhiên nên $x-y$ và $2x+y$ cũng là các số tự nhiên. Mà 7 là số nguyên tố nên ta có: $x-y=1$ và $2x+y=7.$ Giải hệ này ta được $x=2,y=1.$ 2) Ta có $T=\sqrt{x}+\sqrt{16+9y}=\sqrt{x}+\sqrt{16+9(1-x)}=\sqrt{x}+\sqrt{25-9x}.$ Để T đạt giá trị nhỏ nhất thì $\sqrt{x}+\sqrt{25-9x}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $\sqrt{x}+\sqrt{25-9x}\geq 2\sqrt{\sqrt{x}\cdot \sqrt{25-9x}}=2\sqrt[4]{25x-9x^2}.$ Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi $x=25-9x$ hay $x=\frac{25}{10}.$ Ta có $25x-9x^2=-9(x-\frac{25}{18})^2+\frac{625}{36}\leq \frac{625}{36}.$ Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{25}{18}.$ Vậy giá trị nhỏ nhất của T là $\frac{5}{3},$ đạt được khi $x=\frac{25}{18}.$