Đề thi môn Toán tuyển sinh vào lớp 10 tại Hà Nội năm 2025

Câu I: 1) Nhóm $[12;16)$ có tần số là 75 và tần số tương đối là $\frac{75}{300} = 0,25.$ 2) Các số chia hết cho 3 là 3, 6. Vậy xác suất của biến cố A là $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}.$ Câu II: 1) Thay $x=9$ vào biểu thức $A$ ta được: $A=\frac{\sqrt9+2}{\sqrt9-2}=\frac{3+2}{3-2}=5$ 2) Ta có: $B=\frac{x+\sqrt x-4}{x-2\sqrt x}-\frac1{\sqrt x-2}=\frac{x-2\sqrt x+\sqrt x-4}{x-2\sqrt x}-\frac1{\sqrt x-2}=\frac{\sqrt x(\sqrt x-2)+(\sqrt x-2)}{x-2\sqrt x}-\frac1{\sqrt x-2}=\frac{(\sqrt x+1)(\sqrt x-2)}{x-2\sqrt x}-\frac1{\sqrt x-2}=\frac{(\sqrt x+1)(\sqrt x-2)}{(\sqrt x-2)^2}-\frac1{\sqrt x-2}=\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-2}-\frac1{\sqrt x-2}=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-2}=\frac{\sqrt x+2}{\sqrt x}$ 3) Ta có: $\frac AB< \frac12$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt x+2}{\sqrt x-2}\cdot \frac{\sqrt x}{\sqrt x+2}< \frac12$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt x}{\sqrt x-2}< \frac12$ $\Leftrightarrow 2\sqrt x< \sqrt x-2$ $\Leftrightarrow \sqrt x< 2$ $\Leftrightarrow x< 4$ Vậy số nguyên dương x lớn nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài là 3. Câu III: 1) Gọi quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng là S (km) (điều kiện: S > 0). Thời gian ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng là $\frac{S}{60}$ (giờ). Thời gian ô tô đi từ Hải Phòng về Hà Nội là $\frac{S}{40}$ (giờ). Theo đề bài, ta có phương trình: $\frac{S}{40} - \frac{S}{60} = 1$. Quy đồng mẫu số và rút gọn, ta được: $\frac{3S - 2S}{120} = 1$, $\frac{S}{120} = 1$, $S = 120$. Vậy quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng là 120 km. 2) Gọi giá tiền niêm yết của một chiếc ba lô là x (nghìn đồng) và giá tiền niêm yết của một chiếc máy tính cầm tay là y (nghìn đồng) (điều kiện: x > 0, y > 0). Theo đề bài, ta có hệ phương trình: $x + y = 885$, $0,8x + 0,75y = 682$. Nhân phương trình thứ hai với 4 để dễ dàng giải: $3,2x + 3y = 2728$. Nhân phương trình thứ nhất với 3: $3x + 3y = 2655$. Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất: $0,2x = 73$, $x = 365$. Thay x = 365 vào phương trình đầu tiên: $365 + y = 885$, $y = 520$. Vậy giá tiền niêm yết của một chiếc ba lô là 365 nghìn đồng và giá tiền niêm yết của một chiếc máy tính cầm tay là 520 nghìn đồng. 3) Ta có phương trình bậc hai $x^2 + 8x - 6 = 0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$. Theo định lý Vi-et, ta có: $x_1 + x_2 = -8$, $x_1x_2 = -6$. Theo đề bài, ta có phương trình: $\frac{70 - mx_1^2}{x_2} = x_1 + mx_2$. Nhân cả hai vế với $x_2$, ta được: $70 - mx_1^2 = x_1x_2 + mx_2^2$. Thay $x_1x_2 = -6$ vào phương trình trên, ta được: $70 - mx_1^2 = -6 + mx_2^2$. Chuyển $mx_1^2$ sang vế phải và chuyển $-6$ sang vế trái, ta được: $76 = mx_1^2 + mx_2^2$. Chia cả hai vế cho m, ta được: $\frac{76}{m} = x_1^2 + x_2^2$. Theo định lý Vi-et, ta có: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-8)^2 - 2(-6) = 64 + 12 = 76$. Vậy $m = 1$. Đáp số: 120 km; 365 nghìn đồng và 520 nghìn đồng; 1.