làm hộ mik và ghi bảng biến thieen Câu 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=x^3-3x^2+1.$,Câu 2: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\frac13x^3+4x+1.$,Câu 3: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=-\frac13x^3+5x^2-26x-1.$,Câu 4: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\frac13x^3+3x^2+9x-1.$,Câu 5: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=x^4-2x^2.$,Câu 6: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=x^4+4x^2.$,Câu 7: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=-2x^4+4x^2-7.$,Câu 8: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=\frac{3x+1}{1-x}.$,Câu 9: Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số $y=\frac{3-2x}{x+7}.$,Câu 10: Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số: $y=\frac{-x^2+2x-1}{x+2}.$,Câu 11: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $y=\frac{x^2+4x+4}{x+1}.$,Câu 12: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số: $y=\frac{-x^2-x+5}{x+2}.$

Question

làm hộ mik và ghi bảng biến thieen  Câu 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=x^3-3x^2+1.$,Câu 2: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\frac13x^3+4x+1.$,Câu 3: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=-\frac13x^3+5x^2-26x-1.$,Câu 4: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\frac13x^3+3x^2+9x-1.$,Câu 5: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=x^4-2x^2.$,Câu 6: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=x^4+4x^2.$,Câu 7: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=-2x^4+4x^2-7.$,Câu 8: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=\frac{3x+1}{1-x}.$,Câu 9: Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số $y=\frac{3-2x}{x+7}.$,Câu 10: Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số: $y=\frac{-x^2+2x-1}{x+2}.$,Câu 11: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $y=\frac{x^2+4x+4}{x+1}.$,Câu 12: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số: $y=\frac{-x^2-x+5}{x+2}.$

Accepted Answer

Câu 1: Để tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $ y = x^3 - 3x^2 + 1 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 1) = 3x^2 - 6x $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn: $$ 3x^2 - 6x = 0 $$ $$ 3x(x - 2) = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 $$ 3. Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn: - Khoảng $(-\infty, 0)$: Chọn $ x = -1 $: $$ y'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 $$ Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty, 0)$. - Khoảng $(0, 2)$: Chọn $ x = 1 $: $$ y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 $$ Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(0, 2)$. - Khoảng $(2, +\infty)$: Chọn $ x = 3 $: $$ y'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 $$ Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(2, +\infty)$. Kết luận: - Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty, 0)$ và $(2, +\infty)$. - Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0, 2)$. Câu 2: Để tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $ y = \frac{1}{3}x^3 + 4x + 1 $, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 + 4x + 1\right) $$ Áp dụng quy tắc đạo hàm: $$ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3\right) + \frac{d}{dx}(4x) + \frac{d}{dx}(1) $$ $$ y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 4 + 0 $$ $$ y' = x^2 + 4 $$ 2. Xác định dấu của đạo hàm: - Đạo hàm $ y' = x^2 + 4 $ là một đa thức bậc hai với hệ số $ a = 1 > 0 $. Do đó, đồ thị của $ y' $ là một parabol mở lên. - Vì $ x^2 \geq 0 $ với mọi $ x $, nên $ x^2 + 4 \geq 4 > 0 $ với mọi $ x $. 3. Kết luận về tính đơn điệu của hàm số: - Vì $ y' > 0 $ với mọi $ x $, hàm số $ y = \frac{1}{3}x^3 + 4x + 1 $ luôn đồng biến trên toàn bộ miền xác định của nó. Do đó, hàm số $ y = \frac{1}{3}x^3 + 4x + 1 $ đồng biến trên khoảng $ (-\infty, +\infty) $. Câu 3: TXD: $ D=\mathbb R $ Ta có $ y'=-x^2+10x-26 $ $ y'=0 \Leftrightarrow -x^2+10x-26=0 \Leftrightarrow x=5+\sqrt{3} \text{ hoặc } x=5-\sqrt{3} $ Trên $ (-\infty;5-\sqrt{3}) $ lấy $ x_0=0 $, ta có $ y'(0)=-26<0 $ Suy ra hàm số nghịch biến trên $ (-\infty;5-\sqrt{3}) $ Trên $ (5-\sqrt{3};5+\sqrt{3}) $ lấy $ x_0=5 $, ta có $ y'(5)= -25+50-26=9>0 $ Suy ra hàm số đồng biến trên $ (5-\sqrt{3};5+\sqrt{3}) $ Trên $ (5+\sqrt{3};+\infty) $ lấy $ x_0=10 $, ta có $ y'(10)=-100+100-26=-26<0 $ Suy ra hàm số nghịch biến trên $ (5+\sqrt{3};+\infty) $ Vậy hàm số đồng biến trên $ (5-\sqrt{3};5+\sqrt{3}) $, nghịch biến trên $ (-\infty;5-\sqrt{3}) $ và $ (5+\sqrt{3};+\infty) $. Câu 4: Để tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $ y = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 9x - 1 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 9x - 1\right) $$ $$ y' = x^2 + 6x + 9 $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn: $$ x^2 + 6x + 9 = 0 $$ Đây là một phương trình bậc hai. Ta có thể giải nó bằng cách sử dụng công thức nghiệm: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Với $ a = 1 $, $ b = 6 $, và $ c = 9 $: $$ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} $$ $$ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2} $$ $$ x = \frac{-6 \pm \sqrt{0}}{2} $$ $$ x = \frac{-6}{2} $$ $$ x = -3 $$ 3. Xác định dấu của đạo hàm $ y' $ trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn: - Khoảng $ (-\infty, -3) $: Chọn một giá trị $ x $ trong khoảng này, ví dụ $ x = -4 $: $$ y'(-4) = (-4)^2 + 6(-4) + 9 = 16 - 24 + 9 = 1 > 0 $$ Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $ (-\infty, -3) $. - Khoảng $ (-3, \infty) $: Chọn một giá trị $ x $ trong khoảng này, ví dụ $ x = 0 $: $$ y'(0) = 0^2 + 6(0) + 9 = 9 > 0 $$ Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $ (-3, \infty) $. 4. Kết luận: Hàm số $ y = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 9x - 1 $ đồng biến trên các khoảng $ (-\infty, -3) $ và $ (-3, \infty) $. Vì đạo hàm $ y' $ không đổi dấu tại $ x = -3 $, nên hàm số không có khoảng nghịch biến. Đáp số: Hàm số đồng biến trên các khoảng $ (-\infty, -3) $ và $ (-3, \infty) $. Câu 5: Để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $ y = x^4 - 2x^2 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2) = 4x^3 - 4x $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn: $$ 4x^3 - 4x = 0 $$ $$ 4x(x^2 - 1) = 0 $$ $$ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 $$ $$ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 $$ 3. Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn: Các khoảng cần xét là $ (-\infty, -1) $, $ (-1, 0) $, $ (0, 1) $, và $ (1, \infty) $. - Trên khoảng $ (-\infty, -1) $: Chọn $ x = -2 $: $$ y' = 4(-2)^3 - 4(-2) = 4(-8) + 8 = -32 + 8 = -24 < 0 $$ Hàm số giảm trên $ (-\infty, -1) $. - Trên khoảng $ (-1, 0) $: Chọn $ x = -0.5 $: $$ y' = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = 4(-0.125) + 2 = -0.5 + 2 = 1.5 > 0 $$ Hàm số tăng trên $ (-1, 0) $. - Trên khoảng $ (0, 1) $: Chọn $ x = 0.5 $: $$ y' = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 4(0.125) - 2 = 0.5 - 2 = -1.5 < 0 $$ Hàm số giảm trên $ (0, 1) $. - Trên khoảng $ (1, \infty) $: Chọn $ x = 2 $: $$ y' = 4(2)^3 - 4(2) = 4(8) - 8 = 32 - 8 = 24 > 0 $$ Hàm số tăng trên $ (1, \infty) $. 4. Kết luận về các khoảng đơn điệu của hàm số: - Hàm số giảm trên $ (-\infty, -1) $ và $ (0, 1) $. - Hàm số tăng trên $ (-1, 0) $ và $ (1, \infty) $. Do đó, các khoảng đơn điệu của hàm số $ y = x^4 - 2x^2 $ là: - Giảm trên $ (-\infty, -1) $ và $ (0, 1) $. - Tăng trên $ (-1, 0) $ và $ (1, \infty) $. Câu 6: Để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $ y = x^4 + 4x^2 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^4 + 4x^2) = 4x^3 + 8x $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn: $$ 4x^3 + 8x = 0 $$ $$ 4x(x^2 + 2) = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 + 2 = 0 $$ Vì $ x^2 + 2 = 0 $ không có nghiệm thực, nên chỉ có một điểm tới hạn là $ x = 0 $. 3. Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định: - Khoảng $ (-\infty, 0) $: Chọn $ x = -1 $: $$ y'(-1) = 4(-1)^3 + 8(-1) = -4 - 8 = -12 < 0 $$ Do đó, hàm số giảm trên khoảng $ (-\infty, 0) $. - Khoảng $ (0, +\infty) $: Chọn $ x = 1 $: $$ y'(1) = 4(1)^3 + 8(1) = 4 + 8 = 12 > 0 $$ Do đó, hàm số tăng trên khoảng $ (0, +\infty) $. 4. Kết luận về các khoảng đơn điệu của hàm số: - Hàm số giảm trên khoảng $ (-\infty, 0) $. - Hàm số tăng trên khoảng $ (0, +\infty) $. Vậy các khoảng đơn điệu của hàm số $ y = x^4 + 4x^2 $ là: - Giảm trên $ (-\infty, 0) $ - Tăng trên $ (0, +\infty) $ Đáp số: - Hàm số giảm trên $ (-\infty, 0) $ - Hàm số tăng trên $ (0, +\infty) $ Câu 7: Để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $ y = -2x^4 + 4x^2 - 7 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(-2x^4 + 4x^2 - 7) $$ $$ y' = -8x^3 + 8x $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn: $$ -8x^3 + 8x = 0 $$ $$ -8x(x^2 - 1) = 0 $$ $$ -8x(x - 1)(x + 1) = 0 $$ $$ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 $$ 3. Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn: Các khoảng cần xét là: $ (-\infty, -1) $, $ (-1, 0) $, $ (0, 1) $, và $ (1, \infty) $. - Trên khoảng $ (-\infty, -1) $: Chọn $ x = -2 $: $$ y' = -8(-2)^3 + 8(-2) = -8(-8) - 16 = 64 - 16 = 48 > 0 $$ Hàm số đồng biến trên $ (-\infty, -1) $. - Trên khoảng $ (-1, 0) $: Chọn $ x = -0.5 $: $$ y' = -8(-0.5)^3 + 8(-0.5) = -8(-0.125) - 4 = 1 - 4 = -3 < 0 $$ Hàm số nghịch biến trên $ (-1, 0) $. - Trên khoảng $ (0, 1) $: Chọn $ x = 0.5 $: $$ y' = -8(0.5)^3 + 8(0.5) = -8(0.125) + 4 = -1 + 4 = 3 > 0 $$ Hàm số đồng biến trên $ (0, 1) $. - Trên khoảng $ (1, \infty) $: Chọn $ x = 2 $: $$ y' = -8(2)^3 + 8(2) = -8(8) + 16 = -64 + 16 = -48 < 0 $$ Hàm số nghịch biến trên $ (1, \infty) $. 4. Kết luận về các khoảng đơn điệu của hàm số: - Hàm số đồng biến trên các khoảng $ (-\infty, -1) $ và $ (0, 1) $. - Hàm số nghịch biến trên các khoảng $ (-1, 0) $ và $ (1, \infty) $. Đáp số: - Hàm số đồng biến trên các khoảng $ (-\infty, -1) $ và $ (0, 1) $. - Hàm số nghịch biến trên các khoảng $ (-1, 0) $ và $ (1, \infty) $. Câu 8: Để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $ y = \frac{3x + 1}{1 - x} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tập xác định (TXĐ): Hàm số $ y = \frac{3x + 1}{1 - x} $ có mẫu số là $ 1 - x $. Để hàm số xác định, mẫu số phải khác 0: $$ 1 - x \neq 0 \implies x \neq 1 $$ Vậy tập xác định của hàm số là: $$ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} $$ 2. Tính đạo hàm $ y' $: Ta sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: $$ y = \frac{u}{v} \implies y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ Với $ u = 3x + 1 $ và $ v = 1 - x $, ta có: $$ u' = 3 \quad \text{và} \quad v' = -1 $$ Do đó: $$ y' = \frac{(3)(1 - x) - (3x + 1)(-1)}{(1 - x)^2} = \frac{3 - 3x + 3x + 1}{(1 - x)^2} = \frac{4}{(1 - x)^2} $$ 3. Xác định dấu của đạo hàm $ y' $: Ta thấy rằng $ y' = \frac{4}{(1 - x)^2} $ luôn dương vì $ 4 > 0 $ và $ (1 - x)^2 > 0 $ với mọi $ x \neq 1 $. 4. Xác định các khoảng đơn điệu: Vì $ y' > 0 $ trên toàn bộ tập xác định $ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} $, hàm số $ y = \frac{3x + 1}{1 - x} $ đồng biến trên mỗi khoảng của tập xác định. Cụ thể, hàm số đồng biến trên các khoảng: $$ (-\infty, 1) \quad \text{và} \quad (1, +\infty) $$ Kết luận: Hàm số $ y = \frac{3x + 1}{1 - x} $ đồng biến trên các khoảng $ (-\infty, 1) $ và $ (1, +\infty) $. Câu 9: Trước tiên, ta cần tìm đạo hàm của hàm số $ y = \frac{3 - 2x}{x + 7} $. Bước 1: Tính đạo hàm $ y' $. Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: $$ y = \frac{u}{v} \Rightarrow y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ Trong đó: $$ u = 3 - 2x $$ $$ v = x + 7 $$ Tính $ u' $ và $ v' $: $$ u' = -2 $$ $$ v' = 1 $$ Do đó: $$ y' = \frac{(-2)(x + 7) - (3 - 2x)(1)}{(x + 7)^2} $$ $$ y' = \frac{-2x - 14 - 3 + 2x}{(x + 7)^2} $$ $$ y' = \frac{-17}{(x + 7)^2} $$ Bước 2: Xác định dấu của $ y' $. Ta thấy rằng $ y' = \frac{-17}{(x + 7)^2} $. Vì $ (x + 7)^2 > 0 $ với mọi $ x \neq -7 $, nên $ y' < 0 $ với mọi $ x \neq -7 $. Bước 3: Kết luận về tính đơn điệu của hàm số. Hàm số $ y = \frac{3 - 2x}{x + 7} $ nghịch biến trên các khoảng mà đạo hàm $ y' < 0 $. Vì $ y' < 0 $ với mọi $ x \neq -7 $, nên hàm số nghịch biến trên các khoảng: $$ (-\infty, -7) \text{ và } (-7, +\infty) $$ Vậy các khoảng nghịch biến của hàm số là: $$ (-\infty, -7) \text{ và } (-7, +\infty) $$ Câu 10: Để tìm các khoảng nghịch biến của hàm số $ y = \frac{-x^2 + 2x - 1}{x + 2} $, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm tập xác định (TXĐ): Hàm số $ y = \frac{-x^2 + 2x - 1}{x + 2} $ có mẫu số $ x + 2 \neq 0 $. Do đó, $ x \neq -2 $. Vậy tập xác định của hàm số là: $$ D = \mathbb{R} \setminus \{-2\} $$ 2. Tính đạo hàm $ y' $: Ta sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: $$ y = \frac{u}{v} \implies y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ Với $ u = -x^2 + 2x - 1 $ và $ v = x + 2 $. Tính $ u' $ và $ v' $: $$ u' = -2x + 2 $$ $$ v' = 1 $$ Thay vào công thức đạo hàm: $$ y' = \frac{(-2x + 2)(x + 2) - (-x^2 + 2x - 1)(1)}{(x + 2)^2} $$ Rút gọn tử số: $$ (-2x + 2)(x + 2) = -2x^2 - 4x + 2x + 4 = -2x^2 - 2x + 4 $$ $$ -(-x^2 + 2x - 1) = x^2 - 2x + 1 $$ Tổng hợp lại: $$ y' = \frac{-2x^2 - 2x + 4 + x^2 - 2x + 1}{(x + 2)^2} = \frac{-x^2 - 4x + 5}{(x + 2)^2} $$ 3. Giải bất phương trình $ y' < 0 $: Để hàm số nghịch biến, ta cần $ y' < 0 $: $$ \frac{-x^2 - 4x + 5}{(x + 2)^2} < 0 $$ Vì $ (x + 2)^2 > 0 $ với mọi $ x \neq -2 $, nên dấu của $ y' $ phụ thuộc vào tử số $ -x^2 - 4x + 5 $. Giải bất phương trình: $$ -x^2 - 4x + 5 < 0 $$ Nhân cả hai vế với -1 (đổi chiều bất phương trình): $$ x^2 + 4x - 5 > 0 $$ Giải phương trình $ x^2 + 4x - 5 = 0 $: $$ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2} $$ $$ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -5 $$ Bảng xét dấu của $ x^2 + 4x - 5 $: | $ x $ | $ -\infty $ | -5 | -2 | 1 | $ +\infty $ | |------------------|---------------|----------|----------|----------|----------------| | $ x^2 + 4x - 5 $ | $ + $ | $ 0 $ | $ + $ | $ 0 $ | $ + $ | Từ bảng xét dấu, ta thấy $ x^2 + 4x - 5 > 0 $ trên các khoảng: $$ (-\infty, -5) \cup (1, +\infty) $$ Kết hợp với tập xác định $ D = \mathbb{R} \setminus \{-2\} $, ta có các khoảng nghịch biến của hàm số là: $$ (-\infty, -5) \cup (1, +\infty) $$ Kết luận: Các khoảng nghịch biến của hàm số $ y = \frac{-x^2 + 2x - 1}{x + 2} $ là: $$ \boxed{(-\infty, -5) \cup (1, +\infty)} $$ Câu 11: Để tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $ y = \frac{x^2 + 4x + 4}{x + 1} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tập xác định (TXĐ): Hàm số $ y = \frac{x^2 + 4x + 4}{x + 1} $ có mẫu số $ x + 1 \neq 0 $. Do đó, $ x \neq -1 $. Vậy tập xác định của hàm số là: $$ D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} $$ 2. Tính đạo hàm $ y' $: Ta có: $$ y = \frac{x^2 + 4x + 4}{x + 1} $$ Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: $$ y' = \frac{(x^2 + 4x + 4)'(x + 1) - (x^2 + 4x + 4)(x + 1)'}{(x + 1)^2} $$ Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: $$ (x^2 + 4x + 4)' = 2x + 4 $$ $$ (x + 1)' = 1 $$ Thay vào công thức đạo hàm: $$ y' = \frac{(2x + 4)(x + 1) - (x^2 + 4x + 4)(1)}{(x + 1)^2} $$ $$ y' = \frac{2x^2 + 2x + 4x + 4 - x^2 - 4x - 4}{(x + 1)^2} $$ $$ y' = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} $$ $$ y' = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} $$ 3. Xác định dấu của $ y' $: Để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến, ta cần xét dấu của $ y' $: $$ y' = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} $$ - Mẫu số $ (x + 1)^2 $ luôn dương ngoại trừ tại $ x = -1 $. - Tử số $ x(x + 2) $ đổi dấu tại $ x = 0 $ và $ x = -2 $. Ta lập bảng xét dấu của $ y' $: | $ x $ | $ (-\infty, -2) $ | $ -2 $ | $ (-2, -1) $ | $ -1 $ | $ (-1, 0) $ | $ 0 $ | $ (0, +\infty) $ | |------------------|----------------------|-----------|------------------|-----------|------------------|----------|----------------------| | $ x $ | $ - $ | $ 0 $ | $ - $ | $ - $ | $ - $ | $ 0 $ | $ + $ | | $ x + 2 $ | $ - $ | $ 0 $ | $ + $ | $ + $ | $ + $ | $ + $ | $ + $ | | $ x(x + 2) $ | $ + $ | $ 0 $ | $ - $ | $ - $ | $ - $ | $ 0 $ | $ + $ | | $ (x + 1)^2 $ | $ + $ | $ + $ | $ + $ | $ 0 $ | $ + $ | $ + $ | $ + $ | | $ y' $ | $ + $ | $ 0 $ | $ - $ | $ - $ | $ - $ | $ 0 $ | $ + $ | 4. Kết luận: - Hàm số đồng biến trên các khoảng $ (-\infty, -2) $ và $ (0, +\infty) $. - Hàm số nghịch biến trên các khoảng $ (-2, -1) $ và $ (-1, 0) $. Đáp số: - Hàm số đồng biến trên các khoảng $ (-\infty, -2) $ và $ (0, +\infty) $. - Hàm số nghịch biến trên các khoảng $ (-2, -1) $ và $ (-1, 0) $. Câu 12: Để tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $ y = \frac{-x^2 - x + 5}{x + 2} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tập xác định (TXĐ): Hàm số $ y = \frac{-x^2 - x + 5}{x + 2} $ có mẫu số $ x + 2 \neq 0 $. Do đó, $ x \neq -2 $. Vậy tập xác định của hàm số là: $$ D = \mathbb{R} \setminus \{-2\} $$ 2. Tính đạo hàm $ y' $: Ta sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: $$ y = \frac{u}{v} \implies y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ Với $ u = -x^2 - x + 5 $ và $ v = x + 2 $. Tính $ u' $ và $ v' $: $$ u' = -2x - 1 $$ $$ v' = 1 $$ Thay vào công thức đạo hàm: $$ y' = \frac{(-2x - 1)(x + 2) - (-x^2 - x + 5)(1)}{(x + 2)^2} $$ Rút gọn tử số: $$ (-2x - 1)(x + 2) = -2x^2 - 4x - x - 2 = -2x^2 - 5x - 2 $$ $$ -(-x^2 - x + 5) = x^2 + x - 5 $$ Tổng hợp lại: $$ y' = \frac{-2x^2 - 5x - 2 + x^2 + x - 5}{(x + 2)^2} = \frac{-x^2 - 4x - 7}{(x + 2)^2} $$ 3. Xác định dấu của $ y' $: Để tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến, ta cần xét dấu của $ y' $. Xét tử số $ -x^2 - 4x - 7 $: $$ -x^2 - 4x - 7 = -(x^2 + 4x + 7) $$ Vì $ x^2 + 4x + 7 $ là một tam thức bậc hai có biệt thức $ \Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12 $, nên nó không có nghiệm thực và luôn dương. Do đó, $ -x^2 - 4x - 7 $ luôn âm. Mẫu số $ (x + 2)^2 $ luôn dương ngoại trừ tại $ x = -2 $. Vậy $ y' $ luôn âm trên toàn bộ tập xác định $ D $. 4. Kết luận: Hàm số $ y = \frac{-x^2 - x + 5}{x + 2} $ luôn nghịch biến trên các khoảng $ (-\infty, -2) $ và $ (-2, +\infty) $. Đáp án cuối cùng: $$ \text{Hàm số nghịch biến trên } (-\infty, -2) \text{ và } (-2, +\infty) $$