Câu 54. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC của ∆ABC. Vẽ EF vuông góc với AC tại F. 1) Chứng minh: ∆EAB cân tại E và tứ giác ADEF là hình chữ nhậ...

Câu 54: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. 1) Chứng minh: ∆EAB cân tại E và tứ giác ADEF là hình chữ nhật. - Chứng minh ∆EAB cân tại E: Vì D là trung điểm của AB, nên AD = DB. Do đó, DE là đường trung bình của tam giác ABC, nên DE // AC và DE = $\frac{1}{2}$AC. Tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Do đó, góc EAB = góc EBA = 45 độ. Vậy tam giác EAB cân tại E. - Chứng minh tứ giác ADEF là hình chữ nhật: + DE // AC và DE = $\frac{1}{2}$AC (vì DE là đường trung bình của tam giác ABC). + EF vuông góc với AC tại F, nên góc EFA = 90 độ. + AD = DE (vì D là trung điểm của AB và DE là đường trung bình). Từ các điều trên, tứ giác ADEF có ba góc vuông và hai cạnh đối song song, nên ADEF là hình chữ nhật. 2) Chứng minh: Tứ giác BDFE là hình bình hành. - DE // AC và DE = $\frac{1}{2}$AC (vì DE là đường trung bình của tam giác ABC). - BF = DE (vì EF vuông góc với AC và F là chân đường vuông góc từ E xuống AC). Vì DE // BF và DE = BF, nên tứ giác BDFE có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó BDFE là hình bình hành. 3) Lấy điểm T đối xứng với E qua D. Chứng minh: tứ giác ATBE là hình thoi. - Vì T đối xứng với E qua D, nên D là trung điểm của ET. - Tứ giác BDFE là hình bình hành, nên BD = EF và DE = BF. - Tứ giác ATBE có AD = DB (vì D là trung điểm của AB) và DE = ET (vì T đối xứng với E qua D). Vì tứ giác ATBE có bốn cạnh bằng nhau, nên ATBE là hình thoi. 4) Gọi O là giao điểm của AE và DF. Vẽ CH vuông góc BT tại H. Chứng minh: T, O, C thẳng hàng và AHOC cân. - Chứng minh T, O, C thẳng hàng: + Vì AE và DF là hai đường chéo của hình chữ nhật ADEF, nên chúng cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. + Từ hình thoi ATBE, ta có AE = ET và D là trung điểm của ET, nên O cũng là trung điểm của ET. + Vì DE // AC và DE = $\frac{1}{2}$AC, nên O nằm trên đường thẳng nối trung điểm của AC và ET, do đó T, O, C thẳng hàng. - Chứng minh AHOC cân: + CH vuông góc với BT tại H, nên CH là đường cao của tam giác BCT. + Vì tứ giác ATBE là hình thoi, nên AE = ET và góc AET = góc BET = 90 độ. + Do đó, tam giác AHOC có AH = OC và góc AHO = góc OHC = 90 độ, nên AHOC là tam giác cân tại H. Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.