Cmr: $\sqrt{7}+1$ là số vô tỉ
Giải hộ mình câu này với các bạn

Question

Accepted Answer

Giả sử $\sqrt{7}+1$ là số hữu tỉ, tức là tồn tại phân số $\frac{a}{b}$ với $a, b \in \mathbb{Z}, b 
eq 0$ sao cho $\sqrt{7}+1 = \frac{a}{b}$.

Khi đó, ta có:
$$
\sqrt{7} = \frac{a}{b} - 1
$$

Bình phương hai vế, ta được:
$$
7 = \left( \frac{a}{b} - 1 ight)^2
$$

Phát triển vế phải:
$$
7 = \frac{a^2}{b^2} - 2 \cdot \frac{a}{b} + 1
$$

Nhân cả hai vế với $b^2$ để loại bỏ mẫu số:
$$
7b^2 = a^2 - 2ab + b^2
$$

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế:
$$
a^2 - 2ab + b^2 - 7b^2 = 0
$$

Rút gọn:
$$
a^2 - 2ab - 6b^2 = 0
$$

Ta có phương trình bậc hai:
$$
a^2 - 2ab - 6b^2 = 0
$$

Xét phương trình này như một phương trình bậc hai theo $a$, ta có:
$$
a^2 - 2ab - 6b^2 = 0
$$

Phân tích đa thức thành nhân tử:
$$
(a - 3b)(a + 2b) = 0
$$

Từ đây, ta có hai trường hợp:
1. $a - 3b = 0 \Rightarrow a = 3b$
2. $a + 2b = 0 \Rightarrow a = -2b$

Thử lại với $a = 3b$:
$$
\sqrt{7} = \frac{3b}{b} - 1 = 3 - 1 = 2
$$

Điều này mâu thuẫn vì $\sqrt{7}$ không phải là số nguyên.

Thử lại với $a = -2b$:
$$
\sqrt{7} = \frac{-2b}{b} - 1 = -2 - 1 = -3
$$

Điều này cũng mâu thuẫn vì $\sqrt{7}$ không phải là số nguyên âm.

Do đó, giả sử ban đầu là sai, nên $\sqrt{7} + 1$ không thể là số hữu tỉ. Vậy $\sqrt{7} + 1$ là số vô tỉ.

Cmr: là số vô tỉ Giải hộ mình câu này với các bạn