các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử + ví dụ

Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung - Phương pháp này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: \(A(B + C) = AB + AC\) - Ta tìm nhân tử chung của tất cả các hạng tử trong đa thức rồi đặt nhân tử chung đó ra ngoài dấu ngoặc. Ví dụ: Phân tích đa thức \(2x^2 + 4x\) thành nhân tử. Giải: Ta thấy \(2x\) là nhân tử chung của cả hai hạng tử. \(2x^2 + 4x = 2x(x + 2)\) Phương pháp 2: Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ - Ta sử dụng các hằng đẳng thức đã học để phân tích đa thức thành nhân tử. Các hằng đẳng thức đáng nhớ: 1. \(A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)\) 2. \(A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)\) 3. \(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)\) 4. \(A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2\) 5. \(A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2\) 6. \(A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3 = (A - B)^3\) 7. \(A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 = (A + B)^3\) Ví dụ: Phân tích đa thức \(x^2 - 9\) thành nhân tử. Giải: Ta nhận thấy đây là dạng hiệu của hai bình phương. \(x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)\) Phương pháp 3: Nhóm hạng tử - Ta nhóm các hạng tử của đa thức một cách thích hợp để tạo ra các nhóm có thể áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức. Ví dụ: Phân tích đa thức \(xy + xz + ay + az\) thành nhân tử. Giải: Ta nhóm các hạng tử có thể đặt nhân tử chung. \(xy + xz + ay + az = (xy + xz) + (ay + az) = x(y + z) + a(y + z) = (x + a)(y + z)\) Phương pháp 4: Thêm bớt hạng tử - Ta thêm vào hoặc bớt đi một số hạng tử để tạo ra các nhóm có thể áp dụng phương pháp nhóm hạng tử hoặc dùng hằng đẳng thức. Ví dụ: Phân tích đa thức \(x^2 + 4x + 4 - y^2\) thành nhân tử. Giải: Ta nhận thấy đây là dạng hiệu của hai bình phương. \(x^2 + 4x + 4 - y^2 = (x^2 + 4x + 4) - y^2 = (x + 2)^2 - y^2 = (x + 2 - y)(x + 2 + y)\) Phương pháp 5: Phương pháp hệ số bất định - Ta giả sử đa thức cần phân tích có dạng tích của các đa thức bậc thấp hơn, sau đó so sánh hệ số để tìm ra các hệ số chưa biết. Ví dụ: Phân tích đa thức \(x^2 + 5x + 6\) thành nhân tử. Giải: Giả sử \(x^2 + 5x + 6 = (x + a)(x + b)\) So sánh hệ số ta có: \(a + b = 5\) \(ab = 6\) Giải hệ phương trình này ta tìm được \(a = 2\) và \(b = 3\) Vậy \(x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\) Phương pháp 6: Phương pháp đổi biến - Ta đặt một biểu thức nào đó bằng một biến mới để đơn giản hóa việc phân tích đa thức. Ví dụ: Phân tích đa thức \(x^4 + 2x^2 + 1\) thành nhân tử. Giải: Đặt \(t = x^2\) Ta có \(x^4 + 2x^2 + 1 = t^2 + 2t + 1 = (t + 1)^2 = (x^2 + 1)^2\) Phương pháp 7: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng đồ thị - Ta vẽ đồ thị của đa thức và tìm các điểm cắt trục hoành, sau đó viết đa thức dưới dạng tích của các nhân tử. Ví dụ: Phân tích đa thức \(x^2 - 5x + 6\) thành nhân tử. Giải: Vẽ đồ thị của đa thức \(x^2 - 5x + 6\) và tìm các điểm cắt trục hoành. Ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại \(x = 2\) và \(x = 3\) Vậy \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)