Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) Biết BH = 4cm, CH = 2cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AH, AB (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
b) Gọi D, E lần lượt là chân đường vuông góc của H trên AB, AC. Chứng minh cos^3 B = BD/BC
c) Gọi M là trung điểm của HC và N là hình chiếu của M trên AC. Chứng minh MC^3=1/2. NC^2.BC

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) Biết BH = 4cm, CH = 2cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AH, AB (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). 
b) Gọi D, E lần lượt là chân đường vuông góc của H trên AB, AC. Chứng minh cos^3 B = BD/BC 
c) Gọi M là trung điểm của HC và N là hình chiếu của M trên AC. Chứng minh MC^3=1/2. NC^2.BC

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng AH, AB

Bước 1: Tính độ dài AH

Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn là ABH và AHC. Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:

$$ AH^2 = BH \times CH $$

Thay số vào, ta có:

$$ AH^2 = 4 \times 2 = 8 $$

Do đó:

$$ AH = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.8 \, \text{cm} $$

Bước 2: Tính độ dài AB

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABH, ta có:

$$ AB^2 = AH^2 + BH^2 $$

Thay số vào, ta có:

$$ AB^2 = (2\sqrt{2})^2 + 4^2 = 8 + 16 = 24 $$

Do đó:

$$ AB = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \approx 4.9 \, \text{cm} $$

b) Chứng minh $\cos^3 B = \frac{BD}{BC}$

Bước 1: Tính $\cos B$

Trong tam giác vuông ABC, ta có:

$$ \cos B = \frac{AB}{BC} $$

Vì $BC = BH + CH = 4 + 2 = 6 \, \text{cm}$, nên:

$$ \cos B = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} $$

Bước 2: Chứng minh $\cos^3 B = \frac{BD}{BC}$

Ta có:

$$ \cos^3 B = \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^3 = \frac{6\sqrt{6}}{27} = \frac{2\sqrt{6}}{9} $$

Theo định nghĩa, $BD = AB \cdot \cos B$, nên:

$$ BD = 2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{12}{3} = 4 $$

Do đó:

$$ \frac{BD}{BC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$

Như vậy, $\cos^3 B = \frac{2\sqrt{6}}{9}$ không bằng $\frac{BD}{BC}$. Có thể có sai sót trong đề bài hoặc cách tính, cần kiểm tra lại.

c) Chứng minh $MC^3 = \frac{1}{2} \cdot NC^2 \cdot BC$

Bước 1: Tính MC

Vì M là trung điểm của HC, nên:

$$ MC = \frac{CH}{2} = \frac{2}{2} = 1 \, \text{cm} $$

Bước 2: Tính NC

Vì N là hình chiếu của M trên AC, nên NC là một phần của AC. Ta cần tính AC trước:

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHC:

$$ AC^2 = AH^2 + CH^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 = 8 + 4 = 12 $$

Do đó:

$$ AC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $$

Vì M là trung điểm của HC, nên:

$$ NC = \frac{AC}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $$

Bước 3: Chứng minh

Ta cần chứng minh:

$$ MC^3 = \frac{1}{2} \cdot NC^2 \cdot BC $$

Thay số vào:

$$ 1^3 = \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot 6 $$

$$ 1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9 $$

Có thể có sai sót trong đề bài hoặc cách tính, cần kiểm tra lại.

Vậy, bài toán có thể có sai sót trong đề bài hoặc cách tính, cần kiểm tra lại các bước tính toán.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. a) Biết BH = 4cm, CH = 2cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AH, AB (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). b) Gọi D, E lần lượt là chân đường vuông góc...