Cần lời giải chi tiết

Bài 6: Ta có: $\frac1{3(1+\sqrt2)}=\frac{\sqrt2-1}{3}$ $\frac1{5(\sqrt2+\sqrt3)}=\frac{\sqrt3-\sqrt2}{5}$ ... $\frac1{(2n+1)(\sqrt n+\sqrt{n+1})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{2n+1}$ Do đó: $\frac1{3(1+\sqrt2)}+\frac1{5(\sqrt2+\sqrt3)}+...+\frac1{(2n+1)(\sqrt n+\sqrt{n+1})}=\frac{\sqrt2-1}{3}+\frac{\sqrt3-\sqrt2}{5}+...+\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{2n+1}$ $< \frac{\sqrt2-1}{2}+\frac{\sqrt3-\sqrt2}{2}+...+\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{2}=\frac{\sqrt{n+1}-1}{2}< \frac12$ Bài 7: Đặt \( \sqrt{a\sqrt{7}} = x \) và \( \sqrt{b\sqrt{7}} = y \). Ta có phương trình: \[ x - y = \sqrt{11\sqrt{7} - 28}. \] Bình phương hai vế ta được: \[ (x - y)^2 = 11\sqrt{7} - 28. \] \[ x^2 - 2xy + y^2 = 11\sqrt{7} - 28. \] Mặt khác, ta có: \[ x^2 = a\sqrt{7}, \] \[ y^2 = b\sqrt{7}. \] Thay vào phương trình trên ta được: \[ a\sqrt{7} - 2xy + b\sqrt{7} = 11\sqrt{7} - 28. \] \[ (a + b)\sqrt{7} - 2xy = 11\sqrt{7} - 28. \] So sánh hệ số của \( \sqrt{7} \) và hằng số, ta có: \[ a + b = 11, \] \[ -2xy = -28. \] \[ xy = 14. \] Ta có hệ phương trình: \[ a + b = 11, \] \[ ab = 14. \] Giải hệ phương trình này, ta tìm được: \[ a = 7, \] \[ b = 4. \] Kiểm tra lại: \[ \sqrt{7\sqrt{7}} - \sqrt{4\sqrt{7}} = \sqrt{11\sqrt{7} - 28}. \] \[ \sqrt{7\sqrt{7}} - \sqrt{4\sqrt{7}} = \sqrt{11\sqrt{7} - 28}. \] \[ \sqrt{7\sqrt{7}} - \sqrt{4\sqrt{7}} = \sqrt{11\sqrt{7} - 28}. \] Vậy các số hữu tỷ \( a \) và \( b \) thỏa mãn phương trình là: \[ a = 7, \] \[ b = 4. \]