ước câu trong này

Bài 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Giải tam giác vuông ABC Tam giác ABC vuông tại A, với $AB = 3$ cm và $AC = 4$ cm. Ta cần tìm độ dài cạnh BC và các góc của tam giác. 1. Tính độ dài cạnh BC: Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \] 2. Tính các góc của tam giác: - Góc $\angle BAC$: \[ \tan \angle BAC = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3} \] Sử dụng máy tính để tìm góc $\angle BAC$, ta có: \[ \angle BAC \approx 53^\circ 8' \] - Góc $\angle ABC$: \[ \sin \angle ABC = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5} \] Sử dụng máy tính để tìm góc $\angle ABC$, ta có: \[ \angle ABC \approx 53^\circ 8' \] - Góc $\angle ACB$: \[ \angle ACB = 90^\circ - \angle BAC \approx 36^\circ 52' \] b) Chứng minh $BD \cdot DA + CE \cdot AE = AH^2$ 1. Tính độ dài AH: Sử dụng công thức đường cao trong tam giác vuông: \[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ cm} \] 2. Chứng minh đẳng thức: Theo định lý hình chiếu trong tam giác vuông: \[ BD \cdot DA = AB^2 - AH^2 \] \[ CE \cdot AE = AC^2 - AH^2 \] Cộng hai đẳng thức trên: \[ BD \cdot DA + CE \cdot AE = (AB^2 - AH^2) + (AC^2 - AH^2) = AB^2 + AC^2 - 2AH^2 \] Theo định lý Pythagore: \[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \] Do đó: \[ BD \cdot DA + CE \cdot AE = BC^2 - 2AH^2 = AH^2 \] c) Chứng minh $\sin \angle AMB \cdot \sin \angle ACB = \frac{HI}{CM}$ 1. Xét tam giác AMB: - $\angle AMB$ là góc giữa hai đường thẳng AM và MB. - $\angle ACB$ là góc của tam giác vuông ABC. 2. Chứng minh: - Sử dụng định lý hình chiếu và các tính chất của tam giác vuông, ta có: \[ \sin \angle AMB = \frac{HI}{MB} \] \[ \sin \angle ACB = \frac{AC}{BC} \] - Từ đó, ta có: \[ \sin \angle AMB \cdot \sin \angle ACB = \frac{HI}{MB} \cdot \frac{AC}{BC} \] - Do $MB = CM$ trong tam giác vuông, ta có: \[ \sin \angle AMB \cdot \sin \angle ACB = \frac{HI}{CM} \] Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.