Tìm tọa độ điểm đối xứng $M(3; -2)$ qua đường thẳng $d: y = x + 1$

Question

Timi · Accepted Answer

Để tìm tọa độ điểm đối xứng của điểm $ M(3; -2) $ qua đường thẳng $ d: y = x + 1 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm phương trình đường thẳng vuông góc với $ d $ đi qua $ M $:

Đường thẳng $ d $ có hệ số góc là 1 (vì phương trình có dạng $ y = x + 1 $). Do đó, hệ số góc của đường thẳng vuông góc với $ d $ sẽ là $-1$ (vì tích của hai hệ số góc của hai đường thẳng vuông góc bằng $-1$).

Phương trình đường thẳng vuông góc với $ d $ và đi qua $ M(3; -2) $ có dạng:
   $$
   y + 2 = -1(x - 3)
   $$
   $$
   y + 2 = -x + 3
   $$
   $$
   y = -x + 1
   $$

2. Tìm giao điểm $ H $ của hai đường thẳng:

Giao điểm $ H $ của đường thẳng $ y = x + 1 $ và $ y = -x + 1 $ được tìm bằng cách giải hệ phương trình:
   $$
   \begin{cases}
   y = x + 1 \
   y = -x + 1
   \end{cases}
   $$

Thay $ y = x + 1 $ vào phương trình thứ hai:
   $$
   x + 1 = -x + 1
   $$
   $$
   2x = 0 \Rightarrow x = 0
   $$

Thay $ x = 0 $ vào $ y = x + 1 $:
   $$
   y = 0 + 1 = 1
   $$

Vậy, tọa độ giao điểm $ H $ là $ (0; 1) $.

3. Tìm tọa độ điểm đối xứng $ M&#x27; $:

Điểm $ M&#x27; $ đối xứng với $ M $ qua $ H $ có tọa độ được tính bằng cách sử dụng công thức đối xứng qua một điểm:
   $$
   x&#x27; = 2x_H - x_M = 2 \times 0 - 3 = -3
   $$
   $$
   y&#x27; = 2y_H - y_M = 2 \times 1 - (-2) = 2 + 2 = 4
   $$

Vậy, tọa độ điểm đối xứng $ M&#x27; $ là $ (-3; 4) $.

Kết luận: Tọa độ điểm đối xứng của $ M(3; -2) $ qua đường thẳng $ d: y = x + 1 $ là $ M&#x27;(-3; 4) $.