giải giúp mình với ạ

Bài 1: a) Ta có \(a^3 + b^3 - ab(a + b) = a^3 + b^3 - a^2b - ab^2 = a^2(a - b) - b^2(a - b) = (a - b)(a^2 - b^2) = (a - b)^2(a + b)\) Vì \(a\) và \(b\) là các số thực không âm nên \((a - b)^2 \geq 0\) và \(a + b \geq 0\). Do đó, \((a - b)^2(a + b) \geq 0\). Vậy \(a^3 + b^3 \geq ab(a + b)\). b) Ta có \(a^4 + b^4 - ab(a^2 + b^2) = a^4 + b^4 - a^3b - ab^3 = a^3(a - b) - b^3(a - b) = (a - b)(a^3 - b^3) = (a - b)^2(a^2 + ab + b^2)\) Vì \(a\) và \(b\) là các số thực không âm nên \((a - b)^2 \geq 0\) và \(a^2 + ab + b^2 \geq 0\). Do đó, \((a - b)^2(a^2 + ab + b^2) \geq 0\). Vậy \(a^4 + b^4 \geq ab(a^2 + b^2)\). c) Ta có \(a^5 + b^5 - a^2b^2(a + b) = a^5 + b^5 - a^3b^2 - a^2b^3 = a^3(a^2 - b^2) - b^3(a^2 - b^2) = (a^2 - b^2)(a^3 - b^3) = (a - b)^2(a + b)(a^2 + ab + b^2)\) Vì \(a\) và \(b\) là các số thực không âm nên \((a - b)^2 \geq 0\), \(a + b \geq 0\) và \(a^2 + ab + b^2 \geq 0\). Do đó, \((a - b)^2(a + b)(a^2 + ab + b^2) \geq 0\). Vậy \(a^5 + b^5 \geq a^2b^2(a + b)\). Bài 2: Do $a,b,c>0$ nên ta có: $a^3+b^3+abc=a(a^2+b^2)+abc=a(a^2+b^2+bc)$ Ta lại có $a^2+b^2+bc\ge ab+ab+bc=2ab+bc$ Suy ra $\frac1{a^3+b^3+abc}\le \frac1{a(2ab+bc)}=\frac1{2a^2b+abc}=\frac1{2a^2b+125}$ Tương tự $\frac1{b^3+c^3+abc}\le \frac1{2b^2c+125},\frac1{c^3+a^3+abc}\le \frac1{2c^2a+125}$ Vậy $P\le \frac1{2a^2b+125}+\frac1{2b^2c+125}+\frac1{2c^2a+125}$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta có: $(2a^2b+125)(2b^2c+125)(2c^2a+125)\ge (2a^2b+2b^2c+2c^2a)^3$ Suy ra $\frac1{2a^2b+125}+\frac1{2b^2c+125}+\frac1{2c^2a+125}\le \frac3{\sqrt[3]{(2a^2b+125)(2b^2c+125)(2c^2a+125)}}$ Dấu $"="$ xảy ra khi $2a^2b=2b^2c=2c^2a=125$ Vậy $P_{max}=\frac3{\sqrt[3]{(2a^2b+125)(2b^2c+125)(2c^2a+125)}}=\frac3{\sqrt[3]{125^3}}=\frac3{125}$ Đáp số: $\frac3{125}$ Bài 3: Do $abc=1$ nên ta có: $P=\frac1{a^5+b^5+1}+\frac1{b^5+c^5+1}+\frac1{c^5+a^5+1}.$ Ta sẽ chứng minh $\frac1{a^5+b^5+1}\leqslant \frac13\left(\frac1a+\frac1b+1\right)$ $(1).$ Thật vậy, bất đẳng thức $(1)$ tương đương với $\frac1{a^5+b^5+1}-\frac13\leqslant \frac13\left(\frac1a+\frac1b-2\right)$ $\Leftrightarrow \frac{a^5+b^5+1-(a+b+1)}{3(a^5+b^5+1)}\geqslant \frac{a+b-2ab}{3ab(a+b+1)}$ $\Leftrightarrow \frac{(a^5-a)+(b^5-b)+1-ab}{a^5+b^5+1}\geqslant \frac{a+b-2ab}{ab(a+b+1)}$ $\Leftrightarrow \frac{a(a^4-1)+b(b^4-1)+1-ab}{a^5+b^5+1}\geqslant \frac{a+b-2ab}{ab(a+b+1)}$ $\Leftrightarrow \frac{a(a^2-1)(a^2+1)+b(b^2-1)(b^2+1)+1-ab}{a^5+b^5+1}\geqslant \frac{a+b-2ab}{ab(a+b+1)}$ $\Leftrightarrow \frac{a(a-1)(a+1)(a^2+1)+b(b-1)(b+1)(b^2+1)+1-ab}{a^5+b^5+1}\geqslant \frac{a+b-2ab}{ab(a+b+1)}$ Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.