giúp mình vs

Câu 9: Để xác định mệnh đề đúng, ta cần phân tích từng khoảng giá trị đã cho: A. \(\max_{[1;2]}f(x)=2.\) - Quan sát đồ thị trên khoảng \([1;2]\), ta thấy hàm số có giá trị lớn nhất là 2 tại \(x = 2\). B. \(\max_{[-2;1]}f(x)=0.\) - Trên khoảng \([-2;1]\), giá trị lớn nhất của hàm số là 1 tại \(x = 0\), không phải 0. C. \(\max_{[-3;0]}f(x)=f(-3).\) - Trên khoảng \([-3;0]\), giá trị lớn nhất của hàm số là 0 tại \(x = 0\), không phải tại \(x = -3\). D. \(\max_{[3;4]}f(x)=f(4).\) - Trên khoảng \([3;4]\), giá trị lớn nhất của hàm số là tại \(x = 3\), không phải tại \(x = 4\). Kết luận: Mệnh đề đúng là A. \(\max_{[1;2]}f(x)=2.\) đạt được khi \(x = 2\). Câu 10: Để tìm cực trị của hàm số \( y = (x^2 + x)e^x \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm cấp một của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}[(x^2 + x)e^x] \] Áp dụng quy tắc nhân: \[ y' = (2x + 1)e^x + (x^2 + x)e^x \] \[ y' = e^x(2x + 1 + x^2 + x) \] \[ y' = e^x(x^2 + 3x + 1) \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ e^x(x^2 + 3x + 1) = 0 \] Vì \( e^x > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), nên: \[ x^2 + 3x + 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} \] Vậy, các nghiệm của phương trình \( y' = 0 \) là: \[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \] 3. Xác định tính chất của các điểm tới hạn: Ta sẽ kiểm tra dấu của \( y' \) trong các khoảng \( (-\infty, x_2) \), \( (x_2, x_1) \), và \( (x_1, \infty) \). - Khi \( x < x_2 \): \[ x^2 + 3x + 1 > 0 \quad \text{(vì \( x^2 + 3x + 1 \) là parabol mở lên)} \] Do đó, \( y' > 0 \). - Khi \( x_2 < x < x_1 \): \[ x^2 + 3x + 1 < 0 \quad \text{(vì \( x^2 + 3x + 1 \) nằm giữa hai nghiệm)} \] Do đó, \( y' < 0 \). - Khi \( x > x_1 \): \[ x^2 + 3x + 1 > 0 \quad \text{(vì \( x^2 + 3x + 1 \) là parabol mở lên)} \] Do đó, \( y' > 0 \). Từ đó, ta thấy rằng: - Tại \( x = x_2 \), \( y' \) đổi dấu từ dương sang âm, do đó \( x_2 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = x_1 \), \( y' \) đổi dấu từ âm sang dương, do đó \( x_1 \) là điểm cực tiểu. Vậy, hàm số có một cực đại và một cực tiểu. Đáp án: B. Hàm số có một cực đại và một cực tiểu. Câu 11: Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần tìm các điểm cực trị của hàm số \( y = x^4 - 4x^2 - 3 \). Bước 1: Tìm đạo hàm và các điểm cực trị Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^2 - 3) = 4x^3 - 8x. \] Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 4x^3 - 8x = 0. \] Rút gọn phương trình: \[ 4x(x^2 - 2) = 0. \] Phương trình này có nghiệm: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}. \] Vậy các điểm cực trị là \( x = 0, x = \sqrt{2}, x = -\sqrt{2} \). Bước 2: Tính giá trị hàm số tại các điểm cực trị - Tại \( x = 0 \): \[ y = 0^4 - 4 \cdot 0^2 - 3 = -3. \] - Tại \( x = \sqrt{2} \): \[ y = (\sqrt{2})^4 - 4(\sqrt{2})^2 - 3 = 4 - 8 - 3 = -7. \] - Tại \( x = -\sqrt{2} \): \[ y = (-\sqrt{2})^4 - 4(-\sqrt{2})^2 - 3 = 4 - 8 - 3 = -7. \] Vậy các điểm cực trị là \( A(0, -3) \), \( B(\sqrt{2}, -7) \), \( C(-\sqrt{2}, -7) \). Bước 3: Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC Tọa độ trọng tâm \( G(x_G, y_G) \) của tam giác \( ABC \) được tính bằng công thức: \[ x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \quad y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}. \] Thay các giá trị vào: \[ x_G = \frac{0 + \sqrt{2} - \sqrt{2}}{3} = \frac{0}{3} = 0, \] \[ y_G = \frac{-3 - 7 - 7}{3} = \frac{-17}{3}. \] Vậy tọa độ của \( G \) là \( (0, -\frac{17}{3}) \). Bước 4: Tính độ dài đoạn thẳng OG Tọa độ điểm \( O \) là \( (0, 0) \). Độ dài đoạn thẳng \( OG \) là: \[ OG = \sqrt{(0 - 0)^2 + \left(0 + \frac{17}{3}\right)^2} = \left|\frac{17}{3}\right| = \frac{17}{3}. \] Vậy độ dài đoạn thẳng \( OG \) là \( \frac{17}{3} \). Kết luận: Đáp án đúng là \( A. \frac{17}{3} \). Câu 12: Để xác định đồ thị của hàm số nào có tiệm cận đứng, ta cần tìm các giá trị của \(x\) làm cho mẫu số của hàm số bằng 0, nhưng tử số không bằng 0 tại các giá trị đó. Chúng ta sẽ xét từng hàm số: A. \(y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}\) - Mẫu số là \(x - 1\). Để tìm tiệm cận đứng, ta giải phương trình \(x - 1 = 0\), suy ra \(x = 1\). - Tử số tại \(x = 1\) là \(1^2 - 3 \times 1 + 2 = 0\). - Vì tử số cũng bằng 0 tại \(x = 1\), nên không có tiệm cận đứng tại \(x = 1\). B. \(y = \frac{x^2}{x^2 + 1}\) - Mẫu số là \(x^2 + 1\). Phương trình \(x^2 + 1 = 0\) không có nghiệm thực, vì \(x^2 + 1\) luôn dương với mọi \(x\). - Do đó, hàm số này không có tiệm cận đứng. C. \(y = \sqrt{x^2 - 1}\) - Đây là hàm căn thức, không có dạng phân thức với mẫu số, nên không có tiệm cận đứng. D. \(y = \frac{x}{x + 1}\) - Mẫu số là \(x + 1\). Để tìm tiệm cận đứng, ta giải phương trình \(x + 1 = 0\), suy ra \(x = -1\). - Tử số tại \(x = -1\) là \(-1\), không bằng 0. - Do đó, hàm số này có tiệm cận đứng tại \(x = -1\). Kết luận: Đồ thị của hàm số \(y = \frac{x}{x+1}\) (phương án D) có tiệm cận đứng tại \(x = -1\). Câu 1: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích đồ thị và các mệnh đề đã cho. 1. Mệnh đề a: Hàm số \(y=f(x)\) có hai điểm cực trị là 0 và 2. - Để tìm điểm cực trị, ta cần xét đạo hàm \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b\). - Đồ thị cho thấy có hai điểm cực trị, một tại \(x = 0\) và một tại \(x = 2\). - Vậy mệnh đề a là đúng. 2. Mệnh đề b: Giá trị \(b\) bằng 0. - Từ \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b\), ta biết \(f'(0) = b\). - Đồ thị cho thấy tại \(x = 0\), hàm số có cực trị, do đó \(f'(0) = 0\). - Vậy \(b = 0\). Mệnh đề b là đúng. 3. Mệnh đề c: Giá trị \(c = -2\). - Đồ thị cho thấy hàm số cắt trục tung tại \(y = -2\), tức là \(f(0) = c = -2\). - Vậy mệnh đề c là đúng. 4. Mệnh đề d: \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 2\). - Từ các mệnh đề trên, ta có \(b = 0\) và \(c = -2\). - Giả sử \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 2\), ta có \(a = -6\), \(b = 0\), \(c = 2\). - Tuy nhiên, \(c\) phải là \(-2\), không phải \(2\). - Vậy mệnh đề d là sai. Tóm lại: - Mệnh đề a: Đúng - Mệnh đề b: Đúng - Mệnh đề c: Đúng - Mệnh đề d: Sai