Giải phương trình: $2x^2 - (m + 3)x + m = 0$. Tìm tất cả giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

Phương trình đã cho là $2x^2 - (m + 3)x + m = 0$. Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt, ta cần thỏa mãn các điều kiện sau: 1. Phương trình phải có hai nghiệm thực phân biệt. 2. Cả hai nghiệm đều phải dương. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt là $\Delta > 0$, trong đó $\Delta$ là biệt thức của phương trình bậc hai. $\Delta = (m + 3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot m = m^2 + 6m + 9 - 8m = m^2 - 2m + 9$. Ta thấy $\Delta = m^2 - 2m + 9 = (m - 1)^2 + 8 > 0$ với mọi $m$. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm thực phân biệt. Bây giờ, ta kiểm tra điều kiện để cả hai nghiệm đều dương. Theo định lý Vi-ét, tổng và tích của hai nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ lần lượt là $-\frac{b}{a}$ và $\frac{c}{a}$. Áp dụng vào phương trình đã cho, ta có: - Tổng của hai nghiệm là $\frac{m + 3}{2}$. - Tích của hai nghiệm là $\frac{m}{2}$. Để cả hai nghiệm đều dương, ta cần: 1. $\frac{m + 3}{2} > 0$. 2. $\frac{m}{2} > 0$. Từ điều kiện 1, ta có $m + 3 > 0$ hay $m > -3$. Từ điều kiện 2, ta có $m > 0$. Kết hợp cả hai điều kiện trên, ta có $m > 0$. Vậy, để phương trình $2x^2 - (m + 3)x + m = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt, giá trị của $m$ phải thỏa mãn $m > 0$.