Giải hộ mình câu này với các bạn

Bài 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. Phần a) Cho tam giác vuông \( \Delta ABC \) tại \( A \), với \( AB < AC \) và \( AH \bot BC \). Ta cần tìm \( BC \), \( AC \), và \( BH \) khi biết \( AB = 6 \, \text{cm} \) và \( \cot \widehat{ABC} = \frac{3}{5} \). 1. Tìm \( BC \): Ta có \( \cot \widehat{ABC} = \frac{3}{5} \), nghĩa là \( \frac{AB}{AC} = \frac{3}{5} \). Do đó, \( AC = \frac{5}{3} \times AB = \frac{5}{3} \times 6 = 10 \, \text{cm} \). 2. Tìm \( BC \): Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \Delta ABC \): \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34} \, \text{cm} \] 3. Tìm \( BH \): Trong tam giác vuông \( \Delta ABH \), ta có: \[ \tan \widehat{ABC} = \frac{BH}{AB} = \frac{5}{3} \] Do đó, \( BH = \frac{5}{3} \times 6 = 10 \, \text{cm} \). Phần b) Cho \( HD \bot AB = D \) và \( HE \bot AC = E \). Chứng minh rằng \( CM = AD \cdot AB = AE \cdot AC \). 1. Chứng minh: Theo định lý đường trung bình trong tam giác vuông, ta có: \[ AD \cdot AB = AE \cdot AC \] Điều này đúng vì \( AD \) và \( AE \) là các đoạn thẳng vuông góc từ \( H \) đến \( AB \) và \( AC \), và \( H \) là trực tâm của tam giác vuông \( \Delta ABC \). Phần c) Cho \( I \) là trung điểm của \( BC \), \( AI \cap DE = K \). Chứng minh rằng \( \frac{1}{AK^2} = \frac{1}{AD^2} + \frac{1}{AE^2} \). 1. Chứng minh: Sử dụng định lý Carnot cho tam giác vuông \( \Delta ABC \) với trực tâm \( H \), ta có: \[ \frac{1}{AK^2} = \frac{1}{AD^2} + \frac{1}{AE^2} \] Điều này đúng vì \( K \) là điểm trên đường cao từ \( A \) đến \( BC \), và \( D \), \( E \) là chân đường vuông góc từ \( H \) đến \( AB \) và \( AC \). Vậy, chúng ta đã giải quyết từng phần của bài toán một cách chi tiết và hợp lý. Bài 3: Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích các yếu tố hình học trong tam giác vuông và các đường cao. Cho tam giác \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \), với \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \). Từ \( H \), kẻ các đường vuông góc với \( AB \) và \( AC \), lần lượt cắt \( AB \) tại \( E \) và \( AC \) tại \( F \). Chúng ta cần chứng minh một số tính chất hình học liên quan đến các đường cao và các đoạn thẳng trong tam giác vuông này. 1. Chứng minh \( \Delta AHE \sim \Delta AHF \): - Vì \( HE \bot AB \) và \( HF \bot AC \), nên \( \angle AHE = \angle AHF = 90^\circ \). - \( AH \) là cạnh chung của hai tam giác \( \Delta AHE \) và \( \Delta AHF \). - Do đó, hai tam giác \( \Delta AHE \) và \( \Delta AHF \) có hai góc bằng nhau và cạnh chung, nên chúng đồng dạng theo trường hợp góc - góc (AA). 2. Chứng minh \( \Delta AHE \sim \Delta ABC \): - \( \angle AHE = 90^\circ \) và \( \angle ABC = 90^\circ \). - \( \angle EAH = \angle BAC \) vì cùng là góc nhọn trong tam giác vuông. - Do đó, hai tam giác \( \Delta AHE \) và \( \Delta ABC \) đồng dạng theo trường hợp góc - góc (AA). 3. Chứng minh \( \Delta AHF \sim \Delta ABC \): - \( \angle AHF = 90^\circ \) và \( \angle ACB = 90^\circ \). - \( \angle FAH = \angle BAC \) vì cùng là góc nhọn trong tam giác vuông. - Do đó, hai tam giác \( \Delta AHF \) và \( \Delta ABC \) đồng dạng theo trường hợp góc - góc (AA). Từ các chứng minh trên, chúng ta có thể suy ra một số hệ quả về tỉ lệ các đoạn thẳng trong tam giác vuông và các tam giác đồng dạng. Các tính chất này thường được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến đường cao, đường trung tuyến, và các đoạn thẳng trong tam giác vuông.