huhu, cứu em với

Bài 5: Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất và công thức lượng giác cơ bản. a) Tính giá trị của \( A = \cos^2 18^\circ + \cos^2 52^\circ + \cos^2 38^\circ + \cos^2 72^\circ \) Sử dụng công thức: \(\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\). - \(\cos^2 18^\circ = \frac{1 + \cos 36^\circ}{2}\) - \(\cos^2 52^\circ = \frac{1 + \cos 104^\circ}{2}\) - \(\cos^2 38^\circ = \frac{1 + \cos 76^\circ}{2}\) - \(\cos^2 72^\circ = \frac{1 + \cos 144^\circ}{2}\) Chúng ta biết rằng: - \(\cos 36^\circ = \cos 144^\circ\) - \(\cos 76^\circ = \cos 104^\circ\) Do đó: \[ A = \frac{1 + \cos 36^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 104^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 76^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 144^\circ}{2} \] \[ A = \frac{4 + (\cos 36^\circ + \cos 144^\circ + \cos 76^\circ + \cos 104^\circ)}{2} \] Vì \(\cos 36^\circ = \cos 144^\circ\) và \(\cos 76^\circ = \cos 104^\circ\), nên tổng của các cosin này bằng 0. Do đó, \( A = \frac{4}{2} = 2 \). b) Tính giá trị của \( B = \sin^2 1^\circ + \sin^2 3^\circ + \ldots + \sin^2 87^\circ + \sin^2 89^\circ \) Sử dụng công thức: \(\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}\). Tổng các góc từ \(1^\circ\) đến \(89^\circ\) có thể được nhóm thành các cặp có tổng bằng \(90^\circ\), ví dụ: \((1^\circ, 89^\circ), (3^\circ, 87^\circ), \ldots\). Do đó, mỗi cặp \(\sin^2 \theta + \sin^2 (90^\circ - \theta) = 1\). Có 45 cặp như vậy, nên \( B = 45 \). c) Tính giá trị của \( C = \tan 5^\circ \tan 10^\circ \ldots \tan 80^\circ \tan 85^\circ \) Sử dụng tính chất: \(\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta\). Do đó, \(\tan 5^\circ \tan 85^\circ = 1\), \(\tan 10^\circ \tan 80^\circ = 1\), và cứ tiếp tục như vậy. Có tổng cộng 9 cặp như vậy, nên \( C = 1 \). Kết luận: - Giá trị của \( A \) là 2. - Giá trị của \( B \) là 45. - Giá trị của \( C \) là 1. Bài 6: Để tính các giá trị của $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, và $\cot \alpha$, ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản. 1. Tính $\cos \alpha$: Ta biết rằng đối với một góc nhọn $\alpha$, công thức lượng giác cơ bản là: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Thay giá trị $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ vào công thức trên, ta có: \[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] \[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] Vì $\alpha$ là góc nhọn nên $\cos \alpha$ dương, do đó $\cos \alpha = \frac{4}{5}$. 2. Tính $\tan \alpha$: Công thức tính $\tan \alpha$ là: \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Thay các giá trị đã biết vào, ta có: \[ \tan \alpha = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} \] 3. Tính $\cot \alpha$: Công thức tính $\cot \alpha$ là: \[ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \] Thay các giá trị đã biết vào, ta có: \[ \cot \alpha = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3} \] Tóm lại, với $\sin \alpha = \frac{3}{5}$, ta có: - $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ - $\tan \alpha = \frac{3}{4}$ - $\cot \alpha = \frac{4}{3}$ Bài 9: Để tìm góc nghiêng của đường bay khi máy bay hạ cánh, ta có thể sử dụng định nghĩa của tang trong tam giác vuông. Giả sử tam giác vuông có: - Độ cao của máy bay là 12 km (đối diện với góc nghiêng). - Khoảng cách từ điểm bắt đầu hạ cánh đến sân bay là 320 km (kề với góc nghiêng). Gọi góc nghiêng là \( \theta \). Theo định nghĩa của tang, ta có: \[ \tan(\theta) = \frac{\text{đối diện}}{\text{kề}} = \frac{12}{320} \] Tính giá trị của \( \tan(\theta) \): \[ \tan(\theta) = \frac{12}{320} = \frac{3}{80} \] Sử dụng máy tính để tìm \( \theta \): \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{80}\right) \] Sau khi tính toán, ta được: \[ \theta \approx 2.145 \text{ độ} \] Đổi từ độ sang phút (1 độ = 60 phút): \[ 0.145 \times 60 \approx 8.7 \text{ phút} \] Vậy góc nghiêng là khoảng \( 2 \) độ \( 9 \) phút. Bài 10: Để giải bài toán này, ta cần xác định góc \(\alpha\) tạo bởi sợi dây BA và vị trí cân bằng. Ta có thể sử dụng tam giác vuông để tính toán góc này. 1. Xác định tam giác vuông: - Khi quả cầu được kéo khỏi vị trí cân bằng, ta có tam giác vuông \( \triangle ABH \) với: - \( AB = 60 \) cm (là cạnh huyền của tam giác vuông). - \( AH = 20 \) cm (là cạnh đối diện với góc \(\alpha\)). 2. Sử dụng định nghĩa của hàm sin trong tam giác vuông: - Trong tam giác vuông, sin của góc \(\alpha\) được tính bằng tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh huyền: \[ \sin \alpha = \frac{AH}{AB} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \] 3. Tính góc \(\alpha\): - Sử dụng máy tính hoặc bảng giá trị lượng giác để tìm góc \(\alpha\) khi \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\). - Góc \(\alpha\) xấp xỉ bằng \(19.47\) độ. 4. Làm tròn kết quả: - Làm tròn góc \(\alpha\) đến hàng đơn vị, ta được \(\alpha \approx 19\) độ. Vậy, số đo góc \(\alpha\) tạo bởi sợi dây BA và vị trí cân bằng là khoảng \(19\) độ.