Tìm tất cả các giá trị thực của $x$ thỏa mãn phương trình: $3\sqrt{x+1} + 2\sqrt{2x - 1} = 5$.

Question

Timi · Accepted Answer

Điều kiện xác định: $ x \geq -1 $ và $ x \geq \frac{1}{2} $.

Do đó, điều kiện xác định của phương trình là $ x \geq \frac{1}{2} $.

Bây giờ chúng ta sẽ giải phương trình $ 3\sqrt{x+1} + 2\sqrt{2x - 1} = 5 $.

Đặt $ a = \sqrt{x+1} $ và $ b = \sqrt{2x - 1} $. Ta có:
$$ a^2 = x + 1 $$
$$ b^2 = 2x - 1 $$

Từ đây, ta suy ra:
$$ a^2 - b^2 = (x + 1) - (2x - 1) = 2 - x $$

Phương trình ban đầu trở thành:
$$ 3a + 2b = 5 $$

Ta cũng có:
$$ a^2 - b^2 = 2 - x $$

Bây giờ, ta sẽ thử các giá trị của $ x $ để tìm nghiệm.

1. Thử $ x = 1 $:
   $$ a = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} $$
   $$ b = \sqrt{2(1) - 1} = \sqrt{1} = 1 $$
   $$ 3\sqrt{2} + 2(1) = 3\sqrt{2} + 2 \approx 3(1.414) + 2 = 4.242 + 2 = 6.242 \neq 5 $$
   Vậy $ x = 1 $ không phải là nghiệm.

2. Thử $ x = 2 $:
   $$ a = \sqrt{2+1} = \sqrt{3} $$
   $$ b = \sqrt{2(2) - 1} = \sqrt{3} $$
   $$ 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \approx 5(1.732) = 8.66 \neq 5 $$
   Vậy $ x = 2 $ không phải là nghiệm.

3. Thử $ x = \frac{3}{2} $:
   $$ a = \sqrt{\frac{3}{2}+1} = \sqrt{\frac{5}{2}} $$
   $$ b = \sqrt{2\left(\frac{3}{2}\right) - 1} = \sqrt{2} $$
   $$ 3\sqrt{\frac{5}{2}} + 2\sqrt{2} \approx 3(1.581) + 2(1.414) = 4.743 + 2.828 = 7.571 \neq 5 $$
   Vậy $ x = \frac{3}{2} $ không phải là nghiệm.

4. Thử $ x = \frac{1}{2} $:
   $$ a = \sqrt{\frac{1}{2}+1} = \sqrt{\frac{3}{2}} $$
   $$ b = \sqrt{2\left(\frac{1}{2}\right) - 1} = \sqrt{0} = 0 $$
   $$ 3\sqrt{\frac{3}{2}} + 2(0) = 3\sqrt{\frac{3}{2}} \approx 3(1.225) = 3.675 \neq 5 $$
   Vậy $ x = \frac{1}{2} $ không phải là nghiệm.

Cuối cùng, ta thấy rằng không có giá trị nào của $ x $ thỏa mãn phương trình. Do đó, phương trình không có nghiệm.

Đáp án: Phương trình không có nghiệm.