Cho tam giác ABC vuông tại A.có BC =5cm ; C = 30° a) Tính: AB; AC;AH b) Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh: AE.AC = BH.HC và AD.BD +AE +EC = AH² c) Trên BC lấy điểm M b...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Tính AB, AC, AH Tam giác ABC vuông tại A, có góc C = 30° và BC = 5 cm. 1. Tính AC: Trong tam giác vuông, ta có: \[ \cos C = \frac{AC}{BC} \] \[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{5} \] \[ AC = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \text{ cm} \] 2. Tính AB: Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác ABC: \[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \] \[ AB^2 + \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 5^2 \] \[ AB^2 + \frac{75}{4} = 25 \] \[ AB^2 = 25 - \frac{75}{4} = \frac{100}{4} - \frac{75}{4} = \frac{25}{4} \] \[ AB = \frac{5}{2} \text{ cm} \] 3. Tính AH: Trong tam giác vuông, đường cao AH từ góc vuông đến cạnh huyền BC có độ dài: \[ AH = \frac{AB \times AC}{BC} \] \[ AH = \frac{\frac{5}{2} \times \frac{5\sqrt{3}}{2}}{5} = \frac{25\sqrt{3}}{20} = \frac{5\sqrt{3}}{4} \text{ cm} \] b) Chứng minh các đẳng thức 1. Chứng minh \( AE \cdot AC = BH \cdot HC \): Theo định lý đường cao trong tam giác vuông: \[ AH^2 = BH \cdot HC \] Mà \( AE = AH \cdot \cos C \) và \( AC = \frac{BC}{\cos C} \), ta có: \[ AE \cdot AC = (AH \cdot \cos C) \cdot \frac{BC}{\cos C} = AH \cdot BC = BH \cdot HC \] 2. Chứng minh \( AD \cdot BD + AE \cdot EC = AH^2 \): Theo định lý đường cao: \[ AH^2 = AD \cdot BD + AE \cdot EC \] Điều này là một hệ quả của định lý đường cao trong tam giác vuông. c) Xác định vị trí của M trên BC sao cho PQ có độ dài nhỏ nhất Để PQ có độ dài nhỏ nhất, M phải nằm trên đường cao AH của tam giác ABC. Khi đó, PQ là đường vuông góc từ M đến AB và AC, và do đó, PQ có độ dài nhỏ nhất khi M trùng với H. Vậy, vị trí của M trên BC sao cho PQ có độ dài nhỏ nhất là khi M trùng với H.