Cho $x 0$, $x
e 1$. Rút gọn:
$P = \left( \dfrac{\sqrt{x}}{x - 1} - \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} ight) : \left( \dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} ight)$

Question

Cho $x > 0$, $x 
e 1$. Rút gọn:
$P = \left( \dfrac{\sqrt{x}}{x - 1} - \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} ight) : \left( \dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} ight)$

Timi · Accepted Answer

Để rút gọn biểu thức $ P = \left( \dfrac{\sqrt{x}}{x - 1} - \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} \right) : \left( \dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} \right) $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- $ x > 0 $
- $ x \ne 1 $

Bước 2: Biến đổi tử số của $ P $:

$$ 
\dfrac{\sqrt{x}}{x - 1} - \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1}
$$

Quy đồng mẫu số chung của hai phân thức này là $ (x - 1)(\sqrt{x} + 1) $:

$$ 
= \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1) - (x - 1)}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}
$$

Biến đổi tử số:

$$ 
= \dfrac{x + \sqrt{x} - x + 1}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}
$$
$$ 
= \dfrac{\sqrt{x} + 1}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}
$$

Rút gọn phân thức:

$$ 
= \dfrac{1}{x - 1}
$$

Bước 3: Biến đổi mẫu số của $ P $:

$$ 
\dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}
$$

Bước 4: Kết hợp tử số và mẫu số đã biến đổi:

$$ 
P = \left( \dfrac{1}{x - 1} \right) : \left( \dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} \right)
$$

Chia hai phân thức:

$$ 
P = \dfrac{1}{x - 1} \cdot \dfrac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}
$$

Rút gọn:

$$ 
P = \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}
$$

Bước 5: Nhân tử và mẫu số với $ \sqrt{x} + 1 $ để loại bỏ căn thức ở mẫu số:

$$ 
P = \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} \cdot \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}
$$
$$ 
= \dfrac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}
$$
$$ 
= \dfrac{\sqrt{x} + 1}{x - 1}
$$

Vậy, biểu thức $ P $ đã được rút gọn thành:

$$ 
P = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{x - 1}
$$

Cho $x > 0$, $x \ne 1$. Rút gọn: $P = \left( \dfrac{\sqrt{x}}{x - 1} - \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} \right) : \left( \dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} \right)$