Cíu cíuuuuu

Bài 3: Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta '\geq 0$ $\Leftrightarrow -m+1\geq 0$ $\Leftrightarrow m\leq 1$ Theo định lý Vi-et ta có: $x_{1}+x_{2}=2m$ $x_{1}.x_{2}=m^{2}-m+1$ Ta có $x_{1}^{2}+2m.x_{2}\leq 9$ $\Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}+2m.x_{2}\leq 9$ $\Leftrightarrow 4m^{2}-2(m^{2}-m+1)+2m.x_{2}\leq 9$ $\Leftrightarrow 2m^{2}+2m+2m.x_{2}-2\leq 9$ $\Leftrightarrow 2m(m+1+x_{2})\leq 11$ $\Leftrightarrow m(m+1+x_{2})\leq \frac{11}{2}$ Mà $x_{1},x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^{2}-2mx+m^{2}-m+1=0$ nên $x_{2}=m+\sqrt{-m+1}$ hoặc $x_{2}=m-\sqrt{-m+1}$ Do đó $m(m+1+m+\sqrt{-m+1})\leq \frac{11}{2}$ hoặc $m(m+1+m-\sqrt{-m+1})\leq \frac{11}{2}$ $\Leftrightarrow m(2m+1+\sqrt{-m+1})\leq \frac{11}{2}$ hoặc $m(2m+1-\sqrt{-m+1})\leq \frac{11}{2}$ Xét hàm số $f(m)=m(2m+1+\sqrt{-m+1})$ trên khoảng $(-\infty ;1)$ $f'(m)=2m+1+\sqrt{-m+1}+m(\frac{-1}{2\sqrt{-m+1}}-2)$ $=2m+1+\sqrt{-m+1}-\frac{m}{2\sqrt{-m+1}}-2m$ $=1+\sqrt{-m+1}-\frac{m}{2\sqrt{-m+1}}$ $=\frac{2\sqrt{-m+1}+2(-m+1)-m}{2\sqrt{-m+1}}$ $=\frac{2\sqrt{-m+1}+2-3m}{2\sqrt{-m+1}}$ Do đó $f'(m)=0$ $\Leftrightarrow 2\sqrt{-m+1}+2-3m=0$ $\Leftrightarrow 2\sqrt{-m+1}=3m-2$ $\Leftrightarrow 4(-m+1)=(3m-2)^{2}$ $\Leftrightarrow 4-4m=9m^{2}-12m+4$ $\Leftrightarrow 9m^{2}-8m=0$ $\Leftrightarrow m=0$ hoặc $m=\frac{8}{9}$ Từ đây ta có bảng biến thiên của hàm số $f(m)$ trên khoảng $(-\infty ;1)$ | m | $-\infty$ | 0 | $\frac{8}{9}$ | 1 | |---|---|---|---|---| | f'(m) | + | 0 | - | 0 | | f(m) | $-\infty$ | 0 | $\frac{11}{2}$ | $\frac{11}{2}$ | Từ bảng biến thiên ta thấy $f(m)\leq \frac{11}{2}$ khi và chỉ khi $m\leq \frac{8}{9}$ Xét hàm số $g(m)=m(2m+1-\sqrt{-m+1})$ trên khoảng $(-\infty ;1)$ $g'(m)=2m+1-\sqrt{-m+1}+m(\frac{1}{2\sqrt{-m+1}}-2)$ $=2m+1-\sqrt{-m+1}+\frac{m}{2\sqrt{-m+1}}-2m$ $=1-\sqrt{-m+1}+\frac{m}{2\sqrt{-m+1}}$ $=\frac{2\sqrt{-m+1}-2(-m+1)+m}{2\sqrt{-m+1}}$ $=\frac{2\sqrt{-m+1}+2m-2}{2\sqrt{-m+1}}$ Do đó $g'(m)=0$ $\Leftrightarrow 2\sqrt{-m+1}+2m-2=0$ $\Leftrightarrow 2\sqrt{-m+1}=2-2m$ $\Leftrightarrow 4(-m+1)=4-8m+4m^{2}$ $\Leftrightarrow 4m^{2}-4m=0$ $\Leftrightarrow m=0$ hoặc $m=1$ Từ đây ta có bảng biến thiên của hàm số $g(m)$ trên khoảng $(-\infty ;1)$ | m | $-\infty$ | 0 | 1 | |---|---|---|---| | g'(m) | + | 0 | 0 | | g(m) | $-\infty$ | 0 | $\frac{11}{2}$ | Từ bảng biến thiên ta thấy $g(m)\leq \frac{11}{2}$ khi và chỉ khi $m\leq 1$ Vậy $m\leq \frac{8}{9}$