Vật dao động điều hòa theo phương trình x=cos(πt-$\frac{2\pi}{3}$) (dm). Thời gian vật đi được quãng đường s=5cm kể từ thời điểm ban đầu t=0 là a.1/4s b.1/2s c.1/6s d.1/12s

Cho phương trình dao động điều hòa: \[ x = \cos\left(\pi t - \frac{2\pi}{3}\right) \text{ (dm)} \] Bước 1: Xác định biên độ, tần số góc và đơn vị quãng đường - Biên độ: \(A = 1 \text{ dm} = 10 \text{ cm}\) - Tần số góc: \(\omega = \pi \text{ rad/s}\) - Đơn vị tính quãng đường: \(s\) tính theo cm, nên cần đổi từ dm sang cm. Bước 2: Tính quãng đường đi được từ t=0 đến thời điểm t cần tìm sao cho \(s=5 \text{ cm}\). Vật dao động điều hòa trên trục x với biên độ A=10 cm. Lúc t=0: \[ x(0) = \cos\left(0 - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \] Vậy vị trí ban đầu: \(x_0 = -\frac{1}{2} \text{ dm} = -5 \text{ cm}\). Bước 3: Tính vị trí vật tại thời điểm t: \[ x(t) = \cos\left(\pi t - \frac{2\pi}{3}\right) \text{ (dm)} = 10 \cos\left(\pi t - \frac{2\pi}{3}\right) \text{ (cm)} \] Bước 4: Quãng đường đi được trong khoảng thời gian [0,t] là tổng quãng đường đi qua trên đường dao động, có thể gồm nhiều đoạn đi tới rồi đi lui. Do đó, ta cần xác định biến thiên của x(t) từ -5 cm đến giá trị mà tổng quãng đường đi được bằng 5 cm. Bước 5: Tìm các điểm biên (vị trí cực đại, cực tiểu) để tính quãng đường dễ dàng. Dao động với phương trình: \[ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) \] Vị trí cực đại, cực tiểu xảy ra khi đạo hàm bằng 0: \[ \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \varphi) = 0 \Rightarrow \sin(\omega t + \varphi) = 0 \] Giải: \[ \omega t + \varphi = k \pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Với \(\omega = \pi, \varphi = -\frac{2\pi}{3}\), ta có: \[ \pi t - \frac{2\pi}{3} = k \pi \Rightarrow t = k + \frac{2}{3} \] Chọn các giá trị k sao cho \(t \geq 0\): - Với \(k=0\): \(t_0 = \frac{2}{3} \text{ s} \approx 0.6667\text{ s}\) - Với \(k=-1\): \(t = -1 + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}\) (bỏ qua vì <0) Do đó, điểm cực trị đầu tiên sau t=0 là tại \(t = \frac{2}{3}\) s. Bước 6: Tính quãng đường từ t=0 đến \(t < \frac{2}{3}\) s. Vật bắt đầu ở vị trí \(x_0 = -5\) cm, vận tốc tại t=0: \[ v(0) = \frac{dx}{dt} \bigg|_{t=0} = -A \omega \sin(\omega t + \varphi) = -10 \times \pi \times \sin\left(0 - \frac{2\pi}{3}\right) = -10 \pi \times \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) \] \(\sin(-\theta) = -\sin \theta\), \(\sin \frac{2\pi}{3} = \sin 120^\circ = \sqrt{3}/2 \approx 0.866\) Vậy: \[ v(0) = -10 \pi \times (-0.866) = 10 \pi \times 0.866 > 0 \] Vận tốc ban đầu dương nên vật đang chuyển động theo chiều dương, tức x tăng. Bước 7: Vật đi từ vị trí \(x_0 = -5\) cm lên một vị trí \(x(t) > -5\) cm, quãng đường đi được là: \[ s = x(t) - x_0 = 10 \cos(\pi t - \frac{2\pi}{3}) - (-5) = 10 \cos(\pi t - \frac{2\pi}{3}) + 5 \] Đặt \(s = 5\) cm: \[ 5 = 10 \cos(\pi t - \frac{2\pi}{3}) + 5 \] Suy ra: \[ 10 \cos(\pi t - \frac{2\pi}{3}) = 0 \Rightarrow \cos(\pi t - \frac{2\pi}{3}) = 0 \] Giải phương trình: \(\cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} + k \pi\), với \(\theta = \pi t - \frac{2\pi}{3}\), ta có: \[ \pi t - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k \pi \Rightarrow \pi t = \frac{\pi}{2} + k \pi + \frac{2\pi}{3} = \pi \left( k + \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \right) \] \[ t = k + \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = k + \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = k + \frac{7}{6} \] Với k=0: \[ t = \frac{7}{6} \text{ s} > \frac{2}{3} \text{ s} \] Như vậy, điểm thời gian nhỏ nhất thỏa mãn là \(t = \frac{7}{6}\) s, vượt quá thời gian điểm cực trị \(t= \frac{2}{3}\) s. Điều này không hợp lý vì quãng đường cần tính là trong thời gian ngắn. Bước 8: Kiểm tra lại, vì vật chuyển động từ \(x_0 = -5\) cm theo chiều dương, quãng đường đi 5 cm tức vật đến vị trí: \[ x = -5 + 5 = 0 \text{ cm} \] Vậy ta cần tìm \(t\) sao cho: \[ x(t) = 0 \] Từ phương trình: \[ 10 \cos(\pi t - \frac{2\pi}{3}) = 0 \Rightarrow \cos(\pi t - \frac{2\pi}{3}) = 0 \] Giải như trên, ta được: \[ \pi t - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k \pi \Rightarrow t = \frac{7}{6} + k \] Với \(k= -1\): \[ t = \frac{7}{6} -1 = \frac{1}{6} \text{ s} \] Và \(t \geq 0\), \(t= \frac{1}{6}\) s là thời điểm vật đi tới vị trí \(x=0\) cm lần đầu tiên. Bước 9: Xác nhận quãng đường vật đi được tại \(t= \frac{1}{6}\) s. Vật bắt đầu ở \(x_0 = -5\) cm, chuyển động theo chiều dương, đến vị trí 0 cm, nên quãng đường đi được là: \[ s = |x(t) - x_0| = |0 - (-5)| = 5 \text{ cm} \] Đáp ứng yêu cầu bài toán. Bước 10: Kết luận Thời gian vật đi được quãng đường 5 cm kể từ t=0 là: \[ t = \frac{1}{6} \text{ s} \] **Đáp án đúng là: c. \(\frac{1}{6}\) s**. --- **Tóm tắt:** - Vị trí ban đầu: \(-5\) cm - Vận tốc ban đầu dương - Muốn đi được quãng đường 5 cm nghĩa là từ \(-5\) cm đến 0 cm - Thời gian vật đạt vị trí 0 cm đầu tiên sau t=0 là \(t = \frac{1}{6}\) s **Đáp án: c. \(\frac{1}{6}\) s**.