Giải hộ mình câu này với các bạn

Bài 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh AMCN là hình bình hành: 1. Xét trung điểm: - M là trung điểm của OD, do đó \( \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OD} \). - N là trung điểm của OB, do đó \( \overrightarrow{ON} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} \). 2. Chứng minh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm: - Trong hình bình hành ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, là trung điểm của cả hai đường chéo. Do đó, \( \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC} \) và \( \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} \). 3. Chứng minh AM // CN và AM = CN: - Xét \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{AO} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OD} \). - Xét \( \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{ON} = \overrightarrow{CO} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} \). - Vì \( \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{CO} \) và \( \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OB} \), ta có \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{CN} \). 4. Kết luận: - Do \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{CN} \), AM // CN và AM = CN, nên tứ giác AMCN là hình bình hành. b) Chứng minh \( DE = BF \): 1. Xét các tam giác đồng dạng: - Xét tam giác AOD và tam giác BOC, ta có: - \( \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{CO} \) và \( \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OB} \). - Do đó, tam giác AOD đồng dạng với tam giác BOC (c.g.c). 2. Sử dụng tính chất trung điểm: - M là trung điểm của OD, N là trung điểm của OB. - Do đó, AM = CN và AM // CN. 3. Chứng minh DE = BF: - Vì E là giao điểm của AM và CD, F là giao điểm của CN và AB. - Do AMCN là hình bình hành, nên DE và BF là các đoạn thẳng song song và bằng nhau (tính chất của hình bình hành). 4. Kết luận: - Từ các lập luận trên, ta có \( DE = BF \). Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán. Bài 9: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích các yếu tố hình học liên quan đến tam giác nhọn \(\Delta ABC\) và các đường cao, cũng như các đường vuông góc được đề cập. 1. Xác định các yếu tố trong tam giác: - \(\Delta ABC\) là tam giác nhọn, nghĩa là tất cả các góc của tam giác đều nhỏ hơn \(90^\circ\). - BD và CE là các đường cao của tam giác, nghĩa là chúng vuông góc với các cạnh đối diện tương ứng (BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB). 2. Xác định điểm H: - H là giao điểm của hai đường cao BD và CE. Trong tam giác nhọn, điểm H là trực tâm của tam giác. 3. Xác định các đường vuông góc: - Đường vuông góc với AB tại B là một đường thẳng đi qua B và vuông góc với cạnh AB. - Đường vuông góc với AC tại C là một đường thẳng đi qua C và vuông góc với cạnh AC. 4. Xác định điểm K: - Điểm K là giao điểm của hai đường vuông góc này. Do hai đường này vuông góc với hai cạnh của tam giác tại các đỉnh B và C, điểm K sẽ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác \(\Delta ABC\). 5. Kết luận: - Trong tam giác nhọn \(\Delta ABC\), điểm K là trực tâm của tam giác \(\Delta ABC\) khi xét trong mặt phẳng vuông góc với các cạnh AB và AC. Điều này là do các đường vuông góc tại B và C cắt nhau tại điểm K, tạo thành một tam giác vuông với các cạnh là các đường cao của tam giác. Như vậy, chúng ta đã xác định được vị trí và vai trò của các điểm H và K trong tam giác \(\Delta ABC\) dựa trên các đường cao và các đường vuông góc được cho.