Cho $x + y = 6$, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = x^2 + y^2$ là: A. $18$ B. $12$ C. $20$ D. $36$

Ta có \( x + y = 6 \). Ta sẽ biểu diễn \( y \) theo \( x \): \[ y = 6 - x \] Thay \( y = 6 - x \) vào biểu thức \( S \): \[ S = x^2 + y^2 = x^2 + (6 - x)^2 \] Phát triển biểu thức \( (6 - x)^2 \): \[ (6 - x)^2 = 36 - 12x + x^2 \] Do đó: \[ S = x^2 + 36 - 12x + x^2 = 2x^2 - 12x + 36 \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \), ta viết lại biểu thức dưới dạng bình phương hoàn chỉnh: \[ S = 2(x^2 - 6x) + 36 \] Ta thêm và bớt \( 9 \) trong ngoặc để tạo thành bình phương hoàn chỉnh: \[ S = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 36 = 2((x - 3)^2 - 9) + 36 = 2(x - 3)^2 - 18 + 36 = 2(x - 3)^2 + 18 \] Biểu thức \( 2(x - 3)^2 \) luôn không âm, tức là \( 2(x - 3)^2 \geq 0 \). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( S \) xảy ra khi \( 2(x - 3)^2 = 0 \), tức là \( x = 3 \). Khi \( x = 3 \), ta có \( y = 6 - x = 3 \). Vậy giá trị nhỏ nhất của \( S \) là: \[ S = 2(3 - 3)^2 + 18 = 2 \cdot 0 + 18 = 18 \] Đáp án đúng là: A. 18