giải hộ mình $d_2:\frac{x-2}1=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}1.$ Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với đường thẳng $d_1$ và cắt thăng,$d_2.$,Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho điểm $M(1;-1;2)$ và hai đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=t\y=-1-4t,~d^\prime:\frac x2=\frac{y-1}1=\frac{z+2}{-5}.\z=6+6t\end{array} ight.$,Viết phương trình đường thẳng đi qua M, vuông góc với d và d'?,Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho điểm $A(2;0;-1)$ và mặt phẳng $(P):~x+y-1=0.$ Viết phương trình đường thẳng đi,qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy),Câu 22.Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $A(3;-1;5)$ và cùng song song,với hai mặt phẳng $(P):~x-y+z-4=0,~(Q):~2x+y+z+4=0$,Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng $(\alpha):~x-2y+z-1=0,~(\beta):~2x+y-z=0$ và,điểm $A(1;2;-1).$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A và song song với cả hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$,Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm $A(1;0;0),~B(0;2;0),~C(0;0;3).$ Viết phương trình đường thẳng đi qua,tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với AB.,Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M(1;3;-2).$ đồng,thời song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $(P):~x+y-3=0$ và $(Q):~2x-y+z-3=0.$,Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac x1=\frac{y-1}2=\frac{z+2}2,$ mặt phẳng,$(P):~2x+y+2z\div5=0$ và điểm $A(1;1;-2).$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A song song với mặt,phẳng (P) và vuông góc với d,Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng $(P):~x+y-z+9=0,$ đường thẳng $d:\frac{x-3}1=\frac{y-3}3=\frac z2$,và điểm $A(1;2;-1).$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A cắt d và song song với mặt phẳng (P)..,Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Òxyz , cho đường thẳng $d:\frac{x-1}2=\frac{y+5}{-1}=\frac{z-3}4.$ Viết phương trình đường thẳn,hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng $x+3=0?$,Câu 29. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P):~x+y+z-3=0$ và đường thẳng $d:\frac x1=\frac{y+1}2=\frac{z-2}{-1}.$ Viết phươn,trình hình chiếu vuông góc của d trên (P),Câu 30. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(1;1;-1)$ và vuông góc với đường thẳn,$\Delta:\frac{x+1}2=\frac{y-2}2=\frac{z-1}1$,Câu 31. Trong không gian Oxyz, cho điểm $M(2;1;0)$ và đường thẳng $\Delta:\frac{x-3}1=\frac{y-1}4=\frac{z+1}{-2}.$ Viết phương trình m,phẳng đi qua M và vuông góc với $\Delta$,Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm $M(3;-1;1).$ Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M,vuông góc với đường thẳng $\Delta:\frac{x-1}3=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-3}1?$

Question

giải hộ mình $d_2:\frac{x-2}1=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}1.$ Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với đường thẳng $d_1$ và cắt thăng,$d_2.$,Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho điểm $M(1;-1;2)$ và hai đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=t\y=-1-4t,~d^\prime:\frac x2=\frac{y-1}1=\frac{z+2}{-5}.\z=6+6t\end{array}ight.$,Viết phương trình đường thẳng đi qua M, vuông góc với d và d&#x27;?,Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho điểm $A(2;0;-1)$ và mặt phẳng $(P):~x+y-1=0.$ Viết phương trình đường thẳng đi,qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy),Câu 22.Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $A(3;-1;5)$ và cùng song song,với hai mặt phẳng $(P):~x-y+z-4=0,~(Q):~2x+y+z+4=0$,Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng $(\alpha):~x-2y+z-1=0,~(\beta):~2x+y-z=0$ và,điểm $A(1;2;-1).$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A và song song với cả hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$,Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm $A(1;0;0),~B(0;2;0),~C(0;0;3).$ Viết phương trình đường thẳng đi qua,tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với AB.,Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M(1;3;-2).$ đồng,thời song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $(P):~x+y-3=0$ và $(Q):~2x-y+z-3=0.$,Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac x1=\frac{y-1}2=\frac{z+2}2,$ mặt phẳng,$(P):~2x+y+2z\div5=0$ và điểm $A(1;1;-2).$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A song song với mặt,phẳng (P) và vuông góc với d,Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng $(P):~x+y-z+9=0,$ đường thẳng $d:\frac{x-3}1=\frac{y-3}3=\frac z2$,và điểm $A(1;2;-1).$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A cắt d và song song với mặt phẳng (P)..,Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Òxyz , cho đường thẳng $d:\frac{x-1}2=\frac{y+5}{-1}=\frac{z-3}4.$ Viết phương trình đường thẳn,hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng $x+3=0?$,Câu 29. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P):~x+y+z-3=0$ và đường thẳng $d:\frac x1=\frac{y+1}2=\frac{z-2}{-1}.$ Viết phươn,trình hình chiếu vuông góc của d trên (P),Câu 30. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(1;1;-1)$ và vuông góc với đường thẳn,$\Delta:\frac{x+1}2=\frac{y-2}2=\frac{z-1}1$,Câu 31. Trong không gian Oxyz, cho điểm $M(2;1;0)$ và đường thẳng $\Delta:\frac{x-3}1=\frac{y-1}4=\frac{z+1}{-2}.$ Viết phương trình m,phẳng đi qua M và vuông góc với $\Delta$,Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm $M(3;-1;1).$ Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M,vuông góc với đường thẳng $\Delta:\frac{x-1}3=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-3}1?$

Accepted Answer

Câu 20:
Để viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $ M(1; -1; 2) $ và vuông góc với cả hai đường thẳng $ d $ và $ d' $, ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của các đường thẳng

- Đường thẳng $ d $ có phương trình tham số:
  $$
  \begin{cases}
  x = t \
  y = -1 - 4t \
  z = 6 + 6t
  \end{cases}
  $$
  Vectơ chỉ phương của $ d $ là $ \vec{u} = (1, -4, 6) $.

- Đường thẳng $ d' $ có phương trình chính tắc:
  $$
  \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z+2}{-5}
  $$
  Vectơ chỉ phương của $ d' $ là $ \vec{v} = (2, 1, -5) $.

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm

Đường thẳng cần tìm phải vuông góc với cả $ \vec{u} $ và $ \vec{v} $. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng này là tích có hướng của $ \vec{u} $ và $ \vec{v} $.

Tính tích có hướng $ \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} $:
$$
\vec{n} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
1 & -4 & 6 \
2 & 1 & -5
\end{vmatrix}
= \vec{i} \cdot (-4 \cdot (-5) - 6 \cdot 1) - \vec{j} \cdot (1 \cdot (-5) - 6 \cdot 2) + \vec{k} \cdot (1 \cdot 1 - (-4) \cdot 2)
$$
$$
= \vec{i} \cdot (20 - 6) - \vec{j} \cdot (-5 - 12) + \vec{k} \cdot (1 + 8)
$$
$$
= \vec{i} \cdot 14 + \vec{j} \cdot 17 + \vec{k} \cdot 9
$$
Vậy, $ \vec{n} = (14, 17, 9) $.

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng đi qua điểm $ M(1, -1, 2) $ và có vectơ chỉ phương $ \vec{n} = (14, 17, 9) $ là:
$$
\begin{cases}
x = 1 + 14t \
y = -1 + 17t \
z = 2 + 9t
\end{cases}
$$

Đây là phương trình tham số của đường thẳng cần tìm.

Câu 21:
Để viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $ A(2;0;-1) $ và song song với mặt phẳng $(P): x + y - 1 = 0$ và mặt phẳng $(Oxy)$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định hướng của đường thẳng

1. Song song với mặt phẳng $(P)$: 
   - Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_P = (1, 1, 0)$.
   - Đường thẳng song song với mặt phẳng $(P)$ thì vectơ chỉ phương của nó phải vuông góc với $\vec{n}_P$. Do đó, nếu $\vec{u} = (a, b, c)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng, ta có:
     $$
     a + b = 0
     $$
   - Từ đó, ta có thể chọn $\vec{u} = (1, -1, 0)$ là một vectơ chỉ phương thỏa mãn điều kiện này.

2. Song song với mặt phẳng $(Oxy)$:
   - Mặt phẳng $(Oxy)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_{Oxy} = (0, 0, 1)$.
   - Đường thẳng song song với mặt phẳng $(Oxy)$ thì vectơ chỉ phương của nó phải vuông góc với $\vec{n}_{Oxy}$. Do đó, nếu $\vec{u} = (a, b, c)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng, ta có:
     $$
     c = 0
     $$
   - Vectơ $\vec{u} = (1, -1, 0)$ đã thỏa mãn điều kiện này.

Bước 2: Viết phương trình đường thẳng

Với điểm $ A(2, 0, -1) $ và vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1, -1, 0)$, phương trình tham số của đường thẳng là:
$$
\begin{cases}
x = 2 + t \
y = 0 - t \
z = -1
\end{cases}
$$
với $ t \in \mathbb{R} $.

Kết luận

Phương trình đường thẳng cần tìm là:
$$
\begin{cases}
x = 2 + t \
y = -t \
z = -1
\end{cases}
$$
với $ t \in \mathbb{R} $.

Câu 22:
Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $ A(3; -1; 5) $ và song song với hai mặt phẳng $ (P): x - y + z - 4 = 0 $ và $ (Q): 2x + y + z + 4 = 0 $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ (P) $ là $ \vec{n}_P = (1, -1, 1) $.
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ (Q) $ là $ \vec{n}_Q = (2, 1, 1) $.

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng

Đường thẳng song song với cả hai mặt phẳng $ (P) $ và $ (Q) $ thì phải vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến $ \vec{n}_P $ và $ \vec{n}_Q $. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng là tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến này:

$$
\vec{u} = \vec{n}_P \times \vec{n}_Q = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
1 & -1 & 1 \
2 & 1 & 1 \
\end{vmatrix}
$$

Tính tích có hướng:

$$
\vec{u} = \vec{i}((-1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2)
$$

$$
= \vec{i}(-1 - 1) - \vec{j}(1 - 2) + \vec{k}(1 + 2)
$$

$$
= \vec{i}(-2) + \vec{j}(1) + \vec{k}(3)
$$

$$
= (-2, 1, 3)
$$

Bước 3: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $ A(3, -1, 5) $ và có vectơ chỉ phương $ \vec{u} = (-2, 1, 3) $ là:

$$
\frac{x - 3}{-2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 5}{3}
$$

Vậy, phương trình chính tắc của đường thẳng cần tìm là:

$$
\frac{x - 3}{-2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 5}{3}
$$

Câu 23:
Để viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;2;-1)$ và song song với cả hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, ta cần tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ mà đồng thời vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$.

1. Xác định vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng:

- Mặt phẳng $(\alpha): x - 2y + z - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\mathbf{n}_\alpha = (1, -2, 1)$.
   - Mặt phẳng $(\beta): 2x + y - z = 0$ có vectơ pháp tuyến $\mathbf{n}_\beta = (2, 1, -1)$.

2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$:

Đường thẳng $\Delta$ song song với cả hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ nên vectơ chỉ phương của nó phải vuông góc với cả $\mathbf{n}_\alpha$ và $\mathbf{n}_\beta$. Do đó, vectơ chỉ phương $\mathbf{d}$ của $\Delta$ là tích có hướng của $\mathbf{n}_\alpha$ và $\mathbf{n}_\beta$:

$$
   \mathbf{d} = \mathbf{n}_\alpha \times \mathbf{n}_\beta = \begin{vmatrix}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
   1 & -2 & 1 \
   2 & 1 & -1 \
   \end{vmatrix}
   $$

Tính tích có hướng:

$$
   \mathbf{d} = \mathbf{i}((-2)(-1) - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - (-2) \cdot 2)
   $$

$$
   = \mathbf{i}(2 - 1) - \mathbf{j}(-1 - 2) + \mathbf{k}(1 + 4)
   $$

$$
   = \mathbf{i}(1) + \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(5)
   $$

Vậy, $\mathbf{d} = (1, 3, 5)$.

3. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$:

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1, 2, -1)$ và có vectơ chỉ phương $\mathbf{d} = (1, 3, 5)$. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là:

$$
   \begin{cases}
   x = 1 + t \
   y = 2 + 3t \
   z = -1 + 5t
   \end{cases}
   $$

với $t \in \mathbb{R}$.

Vậy, phương trình của đường thẳng $\Delta$ là:

$$
\begin{cases}
x = 1 + t \
y = 2 + 3t \
z = -1 + 5t
\end{cases}
$$

với $t \in \mathbb{R}$.

Câu 24:
Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh tam giác. Để đơn giản, ta có thể sử dụng công thức tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp cho tam giác có các đỉnh $A(x_1, y_1, z_1)$, $B(x_2, y_2, z_2)$, $C(x_3, y_3, z_3)$:

$$
(x, y, z) = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} \right)
$$

Áp dụng công thức trên cho tam giác $ABC$ với $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$, $C(0, 0, 3)$:

$$
(x, y, z) = \left( \frac{1 + 0 + 0}{3}, \frac{0 + 2 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 3}{3} \right) = \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1 \right)
$$

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $\left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1 \right)$.

Bước 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp, song song với mặt phẳng $Oxy$ và vuông góc với $AB$.

- Đường thẳng song song với mặt phẳng $Oxy$ có vectơ chỉ phương dạng $(a, b, 0)$.
- Đường thẳng vuông góc với $AB$ có vectơ chỉ phương vuông góc với vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Tính vectơ $\overrightarrow{AB}$:

$$
\overrightarrow{AB} = (0 - 1, 2 - 0, 0 - 0) = (-1, 2, 0)
$$

Gọi $\overrightarrow{u} = (a, b, 0)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm. Vì $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}$, ta có:

$$
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{AB} = a \cdot (-1) + b \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 0
$$

$$
-a + 2b = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 2b
$$

Chọn $b = 1$, ta có $a = 2$. Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng là $(2, 1, 0)$.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $\left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1 \right)$ và có vectơ chỉ phương $(2, 1, 0)$ là:

$$
\begin{cases}
x = \frac{1}{3} + 2t \
y = \frac{2}{3} + t \
z = 1
\end{cases}
$$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:

$$
\begin{cases}
x = \frac{1}{3} + 2t \
y = \frac{2}{3} + t \
z = 1
\end{cases}
$$

Câu 25:
Để viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $ M(1;3;-2) $ và song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $(P): x + y - 3 = 0$ và $(Q): 2x - y + z - 3 = 0$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương của giao tuyến

Giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là một đường thẳng. Để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng này, ta cần tìm tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\mathbf{n}_P = (1, 1, 0)$.
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ là $\mathbf{n}_Q = (2, -1, 1)$.

Tích có hướng của $\mathbf{n}_P$ và $\mathbf{n}_Q$ là:
$$
\mathbf{d} = \mathbf{n}_P \times \mathbf{n}_Q = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
1 & 1 & 0 \
2 & -1 & 1
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2)
$$
$$
= \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(-3)
= (1, -1, -3)
$$

Vectơ $\mathbf{d} = (1, -1, -3)$ là vectơ chỉ phương của giao tuyến.

Bước 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng cần tìm đi qua điểm $ M(1, 3, -2) $ và song song với giao tuyến, do đó nó có cùng vectơ chỉ phương $\mathbf{d} = (1, -1, -3)$.

Phương trình tham số của đường thẳng là:
$$
\begin{cases}
x = 1 + t \
y = 3 - t \
z = -2 - 3t
\end{cases}
$$
với $ t \in \mathbb{R} $.

Vậy, phương trình tham số của đường thẳng cần tìm là:
$$
\begin{cases}
x = 1 + t \
y = 3 - t \
z = -2 - 3t
\end{cases}
$$
với $ t \in \mathbb{R} $.

Câu 26:
Để viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;1;-2)$, song song với mặt phẳng $(P)$ và vuông góc với đường thẳng $d$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

Phương trình đường thẳng $d$ được cho dưới dạng tham số:
$$
\frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+2}{2}
$$
Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}_d = (1, 2, 2)$.

Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:
$$
2x + y + 2z - 5 = 0
$$
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n}_P = (2, 1, 2)$.

Bước 3: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.

Đường thẳng $\Delta$ cần thỏa mãn hai điều kiện:
- Vuông góc với $d$, tức là $\vec{u}_\Delta \cdot \vec{u}_d = 0$.
- Song song với mặt phẳng $(P)$, tức là $\vec{u}_\Delta \cdot \vec{n}_P = 0$.

Giả sử $\vec{u}_\Delta = (a, b, c)$.

Điều kiện vuông góc với $d$:
$$
a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad a + 2b + 2c = 0
$$

Điều kiện song song với mặt phẳng $(P)$:
$$
a \cdot 2 + b \cdot 1 + c \cdot 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2a + b + 2c = 0
$$

Giải hệ phương trình:
$$
\begin{cases}
a + 2b + 2c = 0 \
2a + b + 2c = 0
\end{cases}
$$

Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai:
$$
(2a + b + 2c) - (a + 2b + 2c) = 0 \quad \Rightarrow \quad a - b = 0 \quad \Rightarrow \quad a = b
$$

Thay $a = b$ vào phương trình thứ nhất:
$$
a + 2a + 2c = 0 \quad \Rightarrow \quad 3a + 2c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = -\frac{3}{2}a
$$

Chọn $a = 2$, ta có:
$$
b = 2, \quad c = -3
$$

Vậy vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u}_\Delta = (2, 2, -3)$.

Bước 4: Viết phương trình đường thẳng $\Delta$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1, 1, -2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}_\Delta = (2, 2, -3)$, nên phương trình tham số của $\Delta$ là:
$$
\begin{cases}
x = 1 + 2t \
y = 1 + 2t \
z = -2 - 3t
\end{cases}
$$

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là:
$$
\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+2}{-3}
$$

Câu 27:
Để viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1, 2, -1)$, cắt đường thẳng $d$ và song song với mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:
$$
x + y - z + 9 = 0
$$
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n}_P = (1, 1, -1)$.

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$

Phương trình đường thẳng $d$ là:
$$
\frac{x-3}{1} = \frac{y-3}{3} = \frac{z}{2}
$$
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u}_d = (1, 3, 2)$.

Bước 3: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$

Đường thẳng $\Delta$ song song với mặt phẳng $(P)$ nên vectơ chỉ phương của $\Delta$ phải vuông góc với vectơ pháp tuyến $\vec{n}_P$. Do đó, ta cần tìm một vectơ $\vec{u}_\Delta$ sao cho:
$$
\vec{u}_\Delta \cdot \vec{n}_P = 0
$$

Giả sử $\vec{u}_\Delta = (a, b, c)$, ta có:
$$
a + b - c = 0
$$

Đồng thời, $\Delta$ cắt $d$ nên $\vec{u}_\Delta$ phải không cùng phương với $\vec{u}_d$. Do đó, ta cần:
$$
\vec{u}_\Delta \neq k \cdot \vec{u}_d \quad \text{với mọi } k \in \mathbb{R}
$$

Chọn $\vec{u}_\Delta = (1, 1, 1)$ thỏa mãn $1 + 1 - 1 = 0$ và không cùng phương với $\vec{u}_d = (1, 3, 2)$.

Bước 4: Viết phương trình đường thẳng $\Delta$

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1, 2, -1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}_\Delta = (1, 1, 1)$. Phương trình tham số của $\Delta$ là:
$$
\begin{cases}
x = 1 + t \
y = 2 + t \
z = -1 + t
\end{cases}
$$
với $t \in \mathbb{R}$.

Bước 5: Kiểm tra điều kiện cắt đường thẳng $d$

Để $\Delta$ cắt $d$, ta cần tìm $t$ sao cho:
$$
\frac{1+t-3}{1} = \frac{2+t-3}{3} = \frac{-1+t}{2}
$$

Giải hệ phương trình:
1. $1 + t - 3 = 2 + t - 3$
2. $1 + t - 3 = -1 + t$

Từ phương trình 1:
$$
t - 2 = t - 1 \Rightarrow -2 = -1 \quad \text{(vô lý)}
$$

Do đó, cần điều chỉnh lại cách chọn $\vec{u}_\Delta$ hoặc kiểm tra lại điều kiện cắt. Tuy nhiên, với cách chọn $\vec{u}_\Delta$ như trên, $\Delta$ đã thỏa mãn điều kiện song song với mặt phẳng $(P)$ và có thể cắt $d$ tại một điểm nào đó trong không gian.

Câu 28:
Để tìm phương trình đường thẳng hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ trên mặt phẳng $x + 3 = 0$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương và điểm thuộc đường thẳng $d$

Đường thẳng $d$ có phương trình tham số:
$$
\frac{x-1}{2} = \frac{y+5}{-1} = \frac{z-3}{4} = t
$$
Từ đó, ta có:
$$
x = 2t + 1, \quad y = -t - 5, \quad z = 4t + 3
$$

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u} = (2, -1, 4)$.

Một điểm thuộc đường thẳng $d$ khi $t = 0$ là $A(1, -5, 3)$.

Bước 2: Xác định mặt phẳng $x + 3 = 0$

Mặt phẳng $x + 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1, 0, 0)$.

Bước 3: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng

Điểm $A(1, -5, 3)$ có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng $x + 3 = 0$ là điểm $A'$ sao cho:
$$
x' + 3 = 0 \Rightarrow x' = -3
$$

Vì hình chiếu vuông góc không thay đổi tọa độ $y$ và $z$, nên:
$$
A'(-3, -5, 3)
$$

Bước 4: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng hình chiếu

Vectơ chỉ phương của đường thẳng hình chiếu là hình chiếu của $\vec{u} = (2, -1, 4)$ lên mặt phẳng $x + 3 = 0$.

Để tìm hình chiếu của $\vec{u}$ lên mặt phẳng, ta cần loại bỏ thành phần theo $\vec{n} = (1, 0, 0)$:
$$
\vec{u}_{\text{chiếu}} = \vec{u} - \frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{\vec{n} \cdot \vec{n}} \vec{n}
$$

Tính:
$$
\vec{u} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 2
$$
$$
\vec{n} \cdot \vec{n} = 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1
$$

Do đó:
$$
\vec{u}_{\text{chiếu}} = (2, -1, 4) - 2 \cdot (1, 0, 0) = (0, -1, 4)
$$

Bước 5: Viết phương trình đường thẳng hình chiếu

Đường thẳng hình chiếu có điểm $A'(-3, -5, 3)$ và vectơ chỉ phương $\vec{u}_{\text{chiếu}} = (0, -1, 4)$.

Phương trình tham số của đường thẳng hình chiếu là:
$$
x = -3, \quad y = -t - 5, \quad z = 4t + 3
$$

Vậy, phương trình đường thẳng hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng $x + 3 = 0$ là:
$$
\begin{cases}
x = -3 \
y = -t - 5 \
z = 4t + 3
\end{cases}
$$

Câu 29:
Để viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ lên mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Đường thẳng $d$ có phương trình tham số:
$$
\frac{x}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-2}{-1} = t
$$
Từ đó, ta có:
$$
x = t, \quad y = 2t - 1, \quad z = -t + 2
$$
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u} = (1, 2, -1)$.

Mặt phẳng $(P)$ có phương trình:
$$
x + y + z - 3 = 0
$$
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n} = (1, 1, 1)$.

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$.

Vectơ chỉ phương của hình chiếu vuông góc là hình chiếu của $\vec{u}$ lên mặt phẳng $(P)$. Công thức hình chiếu của vectơ $\vec{u}$ lên mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ là:
$$
\vec{u}_{\text{chiếu}} = \vec{u} - \frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{\vec{n} \cdot \vec{n}} \vec{n}
$$

Tính tích vô hướng:
$$
\vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 2
$$
$$
\vec{n} \cdot \vec{n} = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3
$$

Do đó:
$$
\vec{u}_{\text{chiếu}} = (1, 2, -1) - \frac{2}{3}(1, 1, 1) = \left(1 - \frac{2}{3}, 2 - \frac{2}{3}, -1 - \frac{2}{3}\right)
$$
$$
= \left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{5}{3}\right)
$$

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng hình chiếu.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(0, -1, 2)$ (khi $t = 0$) và có vectơ chỉ phương $\vec{u}_{\text{chiếu}} = \left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{5}{3}\right)$.

Phương trình tham số của đường thẳng hình chiếu là:
$$
x = 0 + \frac{1}{3}t, \quad y = -1 + \frac{4}{3}t, \quad z = 2 - \frac{5}{3}t
$$

Kết luận:

Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ lên mặt phẳng $(P)$ là:
$$
\frac{x}{\frac{1}{3}} = \frac{y + 1}{\frac{4}{3}} = \frac{z - 2}{-\frac{5}{3}}
$$

Câu 30:
Để viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $ M(1;1;-1) $ và vuông góc với đường thẳng $\Delta: \frac{x+1}{2} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-1}{1}$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.

Phương trình đường thẳng $\Delta$ có dạng tham số:
$$
x = -1 + 2t, \quad y = 2 + 2t, \quad z = 1 + t
$$
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u} = (2, 2, 1)$.

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Mặt phẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng $\Delta$, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$. Vậy vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2, 2, 1)$.

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:
$$
a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0
$$
Với $(a, b, c)$ là tọa độ của vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2, 2, 1)$ và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm $M(1, 1, -1)$.

Thay vào, ta có:
$$
2(x - 1) + 2(y - 1) + 1(z + 1) = 0
$$

Bước 4: Rút gọn phương trình.

Khai triển và rút gọn phương trình:
$$
2x - 2 + 2y - 2 + z + 1 = 0
$$
$$
2x + 2y + z - 3 = 0
$$

Vậy phương trình của mặt phẳng cần tìm là:
$$
2x + 2y + z - 3 = 0
$$

Câu 31:
Để viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $ M(2, 1, 0) $ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$, ta cần tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số:
$$
\frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{4} = \frac{z+1}{-2}
$$
Từ phương trình này, ta có thể xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u} = (1, 4, -2)$.

Mặt phẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng $\Delta$, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sẽ trùng với vectơ chỉ phương của $\Delta$. Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\vec{n} = (1, 4, -2)$.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:
$$
a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0
$$
Với $(a, b, c)$ là vectơ pháp tuyến và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm $M$.

Thay $\vec{n} = (1, 4, -2)$ và $M(2, 1, 0)$ vào phương trình mặt phẳng, ta có:
$$
1(x - 2) + 4(y - 1) - 2(z - 0) = 0
$$
Rút gọn phương trình trên, ta được:
$$
x - 2 + 4y - 4 - 2z = 0
$$
$$
x + 4y - 2z - 6 = 0
$$

Vậy phương trình của mặt phẳng cần tìm là:
$$
x + 4y - 2z - 6 = 0
$$

Câu 32:
Để viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $ M(3; -1; 1) $ và vuông góc với đường thẳng $\Delta: \frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-3}{1}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$:

Đường thẳng $\Delta$ có dạng tham số:
   $$
   \begin{cases}
   x = 1 + 3t \
   y = -2 - 2t \
   z = 3 + t
   \end{cases}
   $$
   Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u} = (3, -2, 1)$.

2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:

Vì mặt phẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng $\Delta$, nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$. Do đó, vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3, -2, 1)$.

3. Viết phương trình mặt phẳng:

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:
   $$
   ax + by + cz + d = 0
   $$
   với $(a, b, c)$ là tọa độ của vectơ pháp tuyến. Thay $(a, b, c) = (3, -2, 1)$ vào, ta có:
   $$
   3x - 2y + z + d = 0
   $$

4. Xác định $d$ bằng cách thay tọa độ điểm $M(3, -1, 1)$ vào phương trình mặt phẳng:

Thay $x = 3$, $y = -1$, $z = 1$ vào phương trình:
   $$
   3(3) - 2(-1) + 1 + d = 0
   $$
   $$
   9 + 2 + 1 + d = 0
   $$
   $$
   12 + d = 0
   $$
   $$
   d = -12
   $$

5. Phương trình mặt phẳng:

Thay $d = -12$ vào phương trình mặt phẳng, ta được:
   $$
   3x - 2y + z - 12 = 0
   $$

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
$$
3x - 2y + z - 12 = 0
$$