Giải phương trình lượng giác: $\cos 2x + \sqrt{3} \sin x = 0$

Điều kiện xác định: Tất cả các giá trị của \( x \) đều thỏa mãn phương trình. Ta có phương trình: \[ \cos 2x + \sqrt{3} \sin x = 0 \] Sử dụng công thức \(\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x\): \[ 1 - 2 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x = 0 \] Đặt \( t = \sin x \), ta có phương trình bậc hai: \[ 1 - 2t^2 + \sqrt{3} t = 0 \] \[ 2t^2 - \sqrt{3} t - 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 8}}{4} \] \[ t = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 8}}{4} \] \[ t = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{11}}{4} \] Do đó: \[ \sin x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{11}}{4} \quad \text{hoặc} \quad \sin x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{11}}{4} \] Tuy nhiên, do \(\sin x\) phải nằm trong khoảng \([-1, 1]\), ta thấy rằng \(\frac{\sqrt{3} + \sqrt{11}}{4}\) lớn hơn 1, nên chỉ có nghiệm: \[ \sin x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{11}}{4} \] Như vậy, các nghiệm của phương trình là: \[ x = \arcsin \left( \frac{\sqrt{3} - \sqrt{11}}{4} \right) + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \]