Giúp mình với!

Bài toán cho: - Khối lượng nêm: \( M = 1\,kg \) - Mặt nghiêng AB dài \( l = 1\,m \) - Góc nghiêng: \(\alpha = 30^\circ\) - Khối lượng vật m: \( m = 1\,kg \) - Hệ số ma sát giữa vật m và mặt AB: \( k = 0.2 \) - Bỏ qua ma sát giữa bánh xe và sân - Gia tốc trọng trường: \( g = 10\,m/s^2 \) --- **Mục tiêu:** 1. Tìm thời gian để vật m trượt từ A xuống B 2. Tìm quãng đường nêm di chuyển trong thời gian đó --- ### Phân tích bài toán - Vật m trượt trên mặt nghiêng AB, có ma sát, đồng thời do vật m trượt, nêm có thể chuyển động (trượt trên mặt phẳng nằm ngang). - Ma sát giữa bánh xe và sân không đáng kể nên nêm có thể trượt. - Cần viết phương trình chuyển động cho vật m và nêm. --- ### Ký hiệu và phương trình Gọi: - \(a_m\): gia tốc của vật m trên mặt nghiêng AB (theo chiều trượt xuống) - \(a_n\): gia tốc của nêm theo phương ngang (trục x), nêm trượt sang phải. Do nêm nghiêng góc \(\alpha = 30^\circ\), chuyển động của vật m theo mặt nghiêng sẽ liên quan đến chuyển động ngang của nêm. --- ### Bước 1: Mối quan hệ chuyển động - Giả sử nêm chuyển động theo phương ngang (trục x). - Vật m chuyển động dọc theo mặt nghiêng (hướng AB). - Gốc toạ độ nằm trên mặt đất, trục x là phương ngang, trục y phương thẳng đứng. Chú ý: Khi nêm chuyển động sang phải với gia tốc \(a_n\), vật m cũng sẽ chuyển động theo mặt nghiêng với gia tốc \(a_m\). Ta cần liên hệ gia tốc của vật m theo hệ quy chiếu mặt đất. --- ### Bước 2: Lực tác dụng lên vật m - Trọng lực: \( mg \) - Phản lực pháp tuyến của mặt nghiêng: \( N \) - Lực ma sát: \( f = kN \), chống lại chuyển động. - Lực quán tính do chuyển động của nêm (nếu xét trong hệ quy chiếu không quán tính, phải xét chuyển động tương đối). --- ### Bước 3: Lập phương trình chuyển động Xét chuyển động trên phương ngang (x) và phương dọc mặt nghiêng (s). Vì vật m trượt trên mặt nghiêng và mặt nghiêng chuyển động ngang với gia tốc \(a_n\), ta sẽ phân tích lực và gia tốc. --- **Lực tác dụng lên vật m theo phương dọc mặt nghiêng (theo s):** - Thành phần trọng lực dọc mặt nghiêng: \( mg \sin\alpha = 1 \times 10 \times \sin 30^\circ = 5\,N \) - Lực ma sát: \( f = k N \) Ta cần tìm \(N\). --- **Tính phản lực pháp tuyến \(N\):** Phản lực pháp tuyến là lực vuông góc với mặt nghiêng. Theo phương vuông góc với mặt nghiêng: - Thành phần trọng lực vuông góc mặt nghiêng: \( mg \cos \alpha = 1 \times 10 \times \cos 30^\circ = 8.66\,N \) - Do vật có gia tốc dọc mặt nghiêng là \(a_m\), gia tốc theo phương vuông góc bằng 0. Do vậy, phản lực \(N\) cân bằng lực vuông góc mặt nghiêng và lực quán tính do nêm chuyển động ngang. Nhưng vật có chuyển động ngang do nêm chuyển động với gia tốc \(a_n\), tạo ra lực quán tính giả theo phương ngang. Ta phân tích lực theo phương ngang (x) và phương vuông góc mặt nghiêng. --- **Phân tích theo hệ toạ độ:** - Hướng x: phương ngang, nêm chuyển động với gia tốc \(a_n\). - Hướng s: theo mặt nghiêng. - Vật m có gia tốc thành phần theo x và theo s. Gọi \(a_m\) là gia tốc của vật m dọc mặt nghiêng (hướng s). Gia tốc vật m theo phương ngang là: \[ a_{mx} = a_n + a_m \cos \alpha \] (Do vật m trượt trên nêm chuyển động ngang, tổng gia tốc ngang bằng gia tốc nêm cộng thành phần gia tốc dọc mặt nghiêng theo phương ngang.) Gia tốc vật m theo phương thẳng đứng: \[ a_{my} = -a_m \sin \alpha \] --- **Phương trình theo phương vuông góc mặt nghiêng (pháp tuyến):** Phương pháp: Lực pháp tuyến \(N\) cân bằng lực tổng hợp vuông góc mặt nghiêng. Thành phần lực quán tính vuông góc mặt nghiêng do gia tốc ngang \(a_{mx}\) và gia tốc thẳng đứng \(a_{my}\) gây ra. Chiều pháp tuyến vuông góc mặt nghiêng là: - Thành phần phương ngang: \( \cos \alpha \) - Thành phần phương thẳng đứng: \( \sin \alpha \) Lực quán tính vuông góc mặt nghiêng do gia tốc của vật m: \[ F_{in} = m \cdot (a_{mx} \cos \alpha - a_{my} \sin \alpha) \] Đổi dấu vì lực quán tính là lực giả. Phương trình cân bằng theo pháp tuyến: \[ N = mg \cos \alpha - m(a_{mx} \cos \alpha - a_{my} \sin \alpha) \] Thay \(a_{mx}, a_{my}\): \[ N = mg \cos \alpha - m[(a_n + a_m \cos \alpha) \cos \alpha - (-a_m \sin \alpha) \sin \alpha] \] \[ N = mg \cos \alpha - m \left[a_n \cos \alpha + a_m \cos^2 \alpha + a_m \sin^2 \alpha \right] \] \[ N = mg \cos \alpha - m \left[a_n \cos \alpha + a_m (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)\right] \] Nhớ \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\), nên: \[ N = mg \cos \alpha - m (a_n \cos \alpha + a_m) \] --- **Phương trình chuyển động theo mặt nghiêng (hướng s):** Lực tổng hợp theo mặt nghiêng là: \[ F_s = mg \sin \alpha - f = mg \sin \alpha - k N \] Gia tốc dọc mặt nghiêng: \[ m a_m = mg \sin \alpha - k N \] Thay biểu thức của \(N\): \[ m a_m = mg \sin \alpha - k [mg \cos \alpha - m (a_n \cos \alpha + a_m)] \] \[ m a_m = mg \sin \alpha - k mg \cos \alpha + k m a_n \cos \alpha + k m a_m \] Chuyển về một bên: \[ m a_m - k m a_m = mg \sin \alpha - k mg \cos \alpha + k m a_n \cos \alpha \] \[ m a_m (1 - k) = mg (\sin \alpha - k \cos \alpha) + k m a_n \cos \alpha \] Chia cho \(m\): \[ a_m (1 - k) = g (\sin \alpha - k \cos \alpha) + k a_n \cos \alpha \] --- **Phương trình chuyển động của nêm (theo phương ngang x):** Nêm chỉ chịu lực tác dụng từ vật m theo phương ngang. Lực ngang tác dụng lên nêm là lực phản lực của vật m, cùng độ lớn nhưng ngược chiều với lực mà vật m tác dụng lên nêm theo phương ngang. Lực này bằng thành phần lực pháp tuyến \(N\) theo phương ngang trừ đi lực ma sát (không có ma sát giữa bánh xe và sân). Thành phần lực pháp tuyến \(N\) theo phương ngang là: \[ N \sin \alpha \] Ngoài ra, vật m còn có lực ma sát \(f = k N\) dọc mặt nghiêng, lực ma sát có thành phần theo phương ngang là: \[ f \cos \alpha = k N \cos \alpha \] Như vậy, tổng lực tác dụng lên nêm theo phương ngang là: \[ F_x = N \sin \alpha - f \cos \alpha = N \sin \alpha - k N \cos \alpha = N (\sin \alpha - k \cos \alpha) \] Lực này làm nêm gia tốc \(a_n\): \[ M a_n = N (\sin \alpha - k \cos \alpha) \] --- ### Tóm lại, hệ phương trình: \[ \begin{cases} a_m (1 - k) = g (\sin \alpha - k \cos \alpha) + k a_n \cos \alpha \\ M a_n = N (\sin \alpha - k \cos \alpha) \\ N = mg \cos \alpha - m (a_n \cos \alpha + a_m) \end{cases} \] --- ### Bước 4: Thay \(N\) vào phương trình \(M a_n = N (\sin \alpha - k \cos \alpha)\): \[ M a_n = [mg \cos \alpha - m (a_n \cos \alpha + a_m)] (\sin \alpha - k \cos \alpha) \] Phân phối: \[ M a_n = mg \cos \alpha (\sin \alpha - k \cos \alpha) - m a_n \cos \alpha (\sin \alpha - k \cos \alpha) - m a_m (\sin \alpha - k \cos \alpha) \] Chuyển các hạng tử chứa \(a_n, a_m\) về một bên: \[ M a_n + m a_n \cos \alpha (\sin \alpha - k \cos \alpha) + m a_m (\sin \alpha - k \cos \alpha) = mg \cos \alpha (\sin \alpha - k \cos \alpha) \] --- ### Bước 5: Giải hệ hai ẩn \(a_n, a_m\) Gọi: \[ A = (1 - k), \quad B = g (\sin \alpha - k \cos \alpha), \quad C = k \cos \alpha \] Phương trình 1: \[ a_m A = B + C a_n \implies a_m = \frac{B + C a_n}{A} \] Phương trình 2: \[ M a_n + m a_n \cos \alpha (\sin \alpha - k \cos \alpha) + m a_m (\sin \alpha - k \cos \alpha) = mg \cos \alpha (\sin \alpha - k \cos \alpha) \] Thay \(a_m\): \[ a_n \left[ M + m \cos \alpha (\sin \alpha - k \cos \alpha) \right] + m \frac{B + C a_n}{A} (\sin \alpha - k \cos \alpha) = mg \cos \alpha (\sin \alpha - k \cos \alpha) \] Nhân cả vế với \(A\): \[ a_n A \left[ M + m \cos \alpha (\sin \alpha - k \cos \alpha) \right] + m (B + C a_n) (\sin \alpha - k \cos \alpha) = mg \cos \alpha (\sin \alpha - k \cos \alpha) A \] Phân phối: \[ a_n A \left[ M + m \cos \alpha (\sin \alpha - k \cos \alpha) \right] + m B (\sin \alpha - k \cos \alpha) + m C a_n (\sin \alpha - k \cos \alpha) = mg \cos \alpha (\sin \alpha - k \cos \alpha) A \] Gộp các hạng tử \(a_n\): \[ a_n \left[ A \left( M + m \cos \alpha (\sin \alpha - k \cos \alpha) \right) + m C (\sin \alpha - k \cos \alpha) \right] = mg \cos \alpha (\sin \alpha - k \cos \alpha) A - m B (\sin \alpha - k \cos \alpha) \] --- ### Bước 6: Tính giá trị các đại lượng (với \(M = m = 1\), \(g=10\), \(\alpha=30^\circ\), \(k=0.2\)): - \(\sin 30^\circ = 0.5\) - \(\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2 \approx 0.866\) Tính từng phần: \[ A = 1 - k = 1 - 0.2 = 0.8 \] \[ \sin \alpha - k \cos \alpha = 0.5 - 0.2 \times 0.866 = 0.5 - 0.1732 = 0.3268 \] \[ B = g (\sin \alpha - k \cos \alpha) = 10 \times 0.3268 = 3.268 \] \[ C = k \cos \alpha = 0.2 \times 0.866 = 0.1732 \] Tính: \[ M + m \cos \alpha (\sin \alpha - k \cos \alpha) = 1 + 1 \times 0.866 \times 0.3268 = 1 + 0.283 = 1.283 \] Tính hệ số \(a_n\): \[ a_n \times \left[ A \times 1.283 + m \times C \times 0.3268 \right] = mg \cos \alpha \times 0.3268 \times A - m B \times 0.3268 \] Tính từng phần: \[ A \times 1.283 = 0.8 \times 1.283 = 1.0264 \] \[ m \times C \times 0.3268 = 1 \times 0.1732 \times 0.3268 = 0.0566 \] Vậy: \[ a_n \times (1.0264 + 0.0566) = a_n \times 1.083 \] Bên phải: \[ mg \cos \alpha \times 0.3268 \times A = 1 \times 10 \times 0.866 \times 0.3268 \times 0.8 = 10 \times 0.866 \times 0.3268 \times 0.8 \] Tính: \[ 0.866 \times 0.3268 = 0.283 \] \[ 10 \times 0.283 \times 0.8 = 10 \times 0.2264 = 2.264 \] Và: \[ m B \times 0.3268 = 1 \times 3.268 \times 0.3268 = 1.068 \] Vậy: \[ \text{Phải} = 2.264 - 1.068 = 1.196 \] --- ### Bước 7: Giải \(a_n\): \[ a_n \times 1.083 = 1.196 \implies a_n = \frac{1.196}{1.083} \approx 1.104\, m/s^2 \] --- ### Bước 8: Tìm \(a_m\): \[ a_m = \frac{B + C a_n}{A} = \frac{3.268 + 0.1732 \times 1.104}{0.8} = \frac{3.268 + 0.191}{0.8} = \frac{3.459}{0.8} = 4.324\, m/s^2 \] --- ### Bước 9: Tính thời gian vật m trượt từ A đến B Vật bắt đầu từ nghỉ, di chuyển đoạn \(l = 1\,m\) với gia tốc \(a_m = 4.324\, m/s^2\), nên: \[ l = \frac{1}{2} a_m t^2 \implies t = \sqrt{\frac{2l}{a_m}} = \sqrt{\frac{2 \times 1}{4.324}} = \sqrt{0.4627} = 0.68\, s \] --- ### Bước 10: Tính quãng đường nêm đi được Nêm chuyển động với gia tốc \(a_n = 1.104\, m/s^2\) từ lúc bắt đầu nghỉ, nên quãng đường đi được: \[ s = \frac{1}{2} a_n t^2 = \frac{1}{2} \times 1.104 \times (0.68)^2 = 0.552 \times 0.4627 = 0.255\, m \] --- ## **Kết luận:** - Thời gian để vật m trượt từ A xuống B là khoảng **0.68 giây** - Trong thời gian đó, nêm đi được đoạn đường khoảng **0.255 m** --- # **Đáp số:** \[ \boxed{ t = 0.68\, s, \quad s = 0.255\, m } \]