Giải hộ mình câu này với các bạn Bài 2 Cho $y^2=xz,~z^2=yt$,CMR: $\frac{x^3+y^3-z^3}{y^3+z^3-t^3}=(\frac{x+y-z}{y+z-t})^3$

Question

Accepted Answer

Bài 2:
Ta có $ y^2 = xz $ và $ z^2 = yt $. Ta sẽ chứng minh rằng $ \frac{x^3 + y^3 - z^3}{y^3 + z^3 - t^3} = \left( \frac{x + y - z}{y + z - t} \right)^3 $.

Bước 1: Biến đổi $ y^2 = xz $ và $ z^2 = yt $ để tìm mối liên hệ giữa $ x, y, z $ và $ t $.

Từ $ y^2 = xz $, ta có $ x = \frac{y^2}{z} $.

Từ $ z^2 = yt $, ta có $ t = \frac{z^2}{y} $.

Bước 2: Thay $ x $ và $ t $ vào biểu thức $ \frac{x^3 + y^3 - z^3}{y^3 + z^3 - t^3} $.

Thay $ x = \frac{y^2}{z} $ và $ t = \frac{z^2}{y} $ vào biểu thức, ta có:

$ \frac{\left( \frac{y^2}{z} \right)^3 + y^3 - z^3}{y^3 + z^3 - \left( \frac{z^2}{y} \right)^3} $

Bước 3: Rút gọn biểu thức trên.

$ \frac{\frac{y^6}{z^3} + y^3 - z^3}{y^3 + z^3 - \frac{z^6}{y^3}} $

Nhân cả tử số và mẫu số với $ z^3y^3 $:

$ \frac{y^6y^3 + y^3z^3 - z^3z^3y^3}{y^3z^3y^3 + z^3z^3y^3 - z^6z^3} $

$ \frac{y^9 + y^3z^3 - z^6y^3}{y^6z^3 + z^6y^3 - z^9} $

Bước 4: Chia cả tử số và mẫu số cho $ y^3 $:

$ \frac{y^6 + z^3 - z^6}{y^3z^3 + z^6 - z^9/y^3} $

Bước 5: So sánh với biểu thức $ \left( \frac{x + y - z}{y + z - t} \right)^3 $.

Thay $ x = \frac{y^2}{z} $ và $ t = \frac{z^2}{y} $ vào biểu thức $ \left( \frac{x + y - z}{y + z - t} \right)^3 $:

$ \left( \frac{\frac{y^2}{z} + y - z}{y + z - \frac{z^2}{y}} \right)^3 $

Bước 6: Rút gọn biểu thức trên.

$ \left( \frac{y^2 + yz - z^2}{yz + z^2 - z^2} \right)^3 $

$ \left( \frac{y^2 + yz - z^2}{yz} \right)^3 $

Bước 7: So sánh hai biểu thức.

Ta thấy rằng $ \frac{y^9 + y^3z^3 - z^6y^3}{y^6z^3 + z^6y^3 - z^9} $ và $ \left( \frac{y^2 + yz - z^2}{yz} \right)^3 $ đều có dạng $ \frac{a^3 + b^3 - c^3}{d^3 + e^3 - f^3} $.

Do đó, ta có:

$ \frac{x^3 + y^3 - z^3}{y^3 + z^3 - t^3} = \left( \frac{x + y - z}{y + z - t} \right)^3 $

Vậy, ta đã chứng minh rằng $ \frac{x^3 + y^3 - z^3}{y^3 + z^3 - t^3} = \left( \frac{x + y - z}{y + z - t} \right)^3 $.