cuuuu voii aaa Câu 31. Cho hàm số $y=f(x)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên sau:,,Hàm số $g(x)=3f(x)+1$ đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?,$A.~x=-1..$ $B.~x=1.$ $C.~x=\pm1..$ $D.~x=0.$,Câu 32. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:,,Hàm số $g(x)=f(3-x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?,A. 2. B. 3. C. 5. D. 6.,Câu 33. Tìm các điểm cực trị x, của hàm số $y=x^3-5x^2+3x+1.$,$A.~x_0=-3$ và $x_0=-\frac13.$ $B.~x_0=0$ và $x_0=\frac{10}3.$ $C.~x_0=0$ và $x_0=-\frac{10}3.$ $D.~x_0=3$ và $x_0=\frac13.$,Câu 34. Tìm các điểm cực trị của đồ thị của hàm số $y=x^3-3x^2.$,$A.~(0;0)$ và $(1;-2)..$ $B.~(0;0)$ và $(2;4)..$ $C.~(0;0)$ và $(2;-4).$ $D.~(0;0)$ và $(-2;-4).$,Câu 35. Tìm điểm cực đại $x_0$ của hàm số $y=x^3-3x+1.$,$A.~x_0=-1...$ $B.~x_0=0..$ $C.~x_0=1...$ $D.~x_0=3..$,Câu 36. Giá trị cực đại của hàm số $y=x^3-3x+2$ bằng,A. -1.. B. 0.. C. 1.. D. 4..,Câu 37. Cho hàm số $f(x)=(x^2-3)^2.$ Giá trị cực đại của hàm số $f^\prime(x)$ bằng,A. -8. $B.~\frac12..$ C. 8.. D. 9..,Câu 38. Đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2-9x+1$ có hai cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng,AB ?,$A.~M(0;-1)...$ $B.~N(1;-10)...$ $C.~P(1;0)...$ $D.~Q(-1;10).$,Câu 39. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng $d:y=(2m-1)x+3+m$ vuông góc với đường thẳng,đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+1.$,$A.~m=-\frac12..$ $B.~m=\frac32..$ $C.~m=\frac14..$ $D.~m=\frac34..$,Câu 40. Cho hàm số $y=-x^4+2x^2+3.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?,A. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.,B. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.,C. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.,D. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.,Câu 41. Tính diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^4-2x^2+3.$,$A.~S=\frac12..$ $B.~S=1.$ $C.~S=2.$ $D.~S=4.$,Câu 42. Hàm số $y=x^5+2x^3-1$ có bao nhiêu điểm cực trị?,A. 0.. B. 2.. C. 3.. D. 4.,Câu 43. Hàm số $y=\sqrt[3]{x^2}$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?,A. 0.. B. 1. C. 2.. D. 3..,Câu 44. Hàm số $y=|x|^3-3x+1$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?,A. 0.. B. 1.. C. 2.. D. 3..

Question

cuuuu voii aaa Câu 31. Cho hàm số $y=f(x)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên sau:,

,Hàm số $g(x)=3f(x)+1$ đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?,$A.~x=-1..$ $B.~x=1.$ $C.~x=\pm1..$ $D.~x=0.$,Câu 32. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:,

,Hàm số $g(x)=f(3-x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?,A. 2. B. 3. C. 5. D. 6.,Câu 33. Tìm các điểm cực trị x, của hàm số $y=x^3-5x^2+3x+1.$,$A.~x_0=-3$ và $x_0=-\frac13.$ $B.~x_0=0$ và $x_0=\frac{10}3.$ $C.~x_0=0$ và $x_0=-\frac{10}3.$ $D.~x_0=3$ và $x_0=\frac13.$,Câu 34. Tìm các điểm cực trị của đồ thị của hàm số $y=x^3-3x^2.$,$A.~(0;0)$ và $(1;-2)..$ $B.~(0;0)$ và $(2;4)..$ $C.~(0;0)$ và $(2;-4).$ $D.~(0;0)$ và $(-2;-4).$,Câu 35. Tìm điểm cực đại $x_0$ của hàm số $y=x^3-3x+1.$,$A.~x_0=-1...$ $B.~x_0=0..$ $C.~x_0=1...$ $D.~x_0=3..$,Câu 36. Giá trị cực đại của hàm số $y=x^3-3x+2$ bằng,A. -1.. B. 0.. C. 1.. D. 4..,Câu 37. Cho hàm số $f(x)=(x^2-3)^2.$ Giá trị cực đại của hàm số $f^\prime(x)$ bằng,A. -8. $B.~\frac12..$ C. 8.. D. 9..,Câu 38. Đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2-9x+1$ có hai cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng,AB ?,$A.~M(0;-1)...$ $B.~N(1;-10)...$ $C.~P(1;0)...$ $D.~Q(-1;10).$,Câu 39. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng $d:y=(2m-1)x+3+m$ vuông góc với đường thẳng,đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+1.$,$A.~m=-\frac12..$ $B.~m=\frac32..$ $C.~m=\frac14..$ $D.~m=\frac34..$,Câu 40. Cho hàm số $y=-x^4+2x^2+3.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?,A. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.,B. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.,C. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.,D. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.,Câu 41. Tính diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^4-2x^2+3.$,$A.~S=\frac12..$ $B.~S=1.$ $C.~S=2.$ $D.~S=4.$,Câu 42. Hàm số $y=x^5+2x^3-1$ có bao nhiêu điểm cực trị?,A. 0.. B. 2.. C. 3.. D. 4.,Câu 43. Hàm số $y=\sqrt[3]{x^2}$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?,A. 0.. B. 1. C. 2.. D. 3..,Câu 44. Hàm số $y=|x|^3-3x+1$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?,A. 0.. B. 1.. C. 2.. D. 3..

Accepted Answer

Câu 31: Để tìm điểm cực tiểu của hàm số $ g(x) = 3f(x) + 1 $, ta cần xem xét các điểm cực trị của hàm số $ f(x) $ dựa trên bảng biến thiên đã cho. 1. Xác định các điểm cực trị của $ f(x) $: - Từ bảng biến thiên, ta thấy: - $ f(x) $ đạt cực đại tại $ x = -1 $ và $ x = 1 $. - $ f(x) $ đạt cực tiểu tại $ x = 0 $. 2. Xét hàm số $ g(x) = 3f(x) + 1 $: - Do $ g(x) $ là một hàm bậc nhất của $ f(x) $, các điểm cực trị của $ g(x) $ sẽ xảy ra tại các điểm cực trị của $ f(x) $. - Tại $ x = 0 $, $ f(x) $ đạt cực tiểu, do đó $ g(x) = 3f(x) + 1 $ cũng đạt cực tiểu tại $ x = 0 $. 3. Kết luận: - Hàm số $ g(x) = 3f(x) + 1 $ đạt cực tiểu tại $ x = 0 $. Vậy đáp án đúng là $ D.~x=0 $. Câu 32: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ g(x) = f(3-x) $, ta cần phân tích sự thay đổi của hàm số $ f(x) $ và ảnh hưởng của phép biến đổi $ x \to 3-x $. Bước 1: Phân tích bảng biến thiên của $ f(x) $ Từ bảng biến thiên của $ f(x) $: - $ f(x) $ có cực đại tại $ x = 0 $ với giá trị $ f(0) = 3 $. - $ f(x) $ có cực tiểu tại $ x = 1 $ với giá trị $ f(1) = -1 $. - $ f(x) $ có cực đại tại $ x = 2 $ với giá trị $ f(2) = 2 $. Bước 2: Xét hàm số $ g(x) = f(3-x) $ Khi thay $ x $ bằng $ 3-x $, ta có: - $ x = 0 $ của $ f(x) $ tương ứng với $ 3-x = 0 $ hay $ x = 3 $. - $ x = 1 $ của $ f(x) $ tương ứng với $ 3-x = 1 $ hay $ x = 2 $. - $ x = 2 $ của $ f(x) $ tương ứng với $ 3-x = 2 $ hay $ x = 1 $. Bước 3: Xác định điểm cực trị của $ g(x) $ - $ g(x) $ có cực đại tại $ x = 3 $ (do $ f(x) $ có cực đại tại $ x = 0 $). - $ g(x) $ có cực tiểu tại $ x = 2 $ (do $ f(x) $ có cực tiểu tại $ x = 1 $). - $ g(x) $ có cực đại tại $ x = 1 $ (do $ f(x) $ có cực đại tại $ x = 2 $). Kết luận Hàm số $ g(x) = f(3-x) $ có 3 điểm cực trị. Vậy, đáp án đúng là B. 3. Câu 33: Để tìm các điểm cực trị của hàm số $ y = x^3 - 5x^2 + 3x + 1 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 5x^2 + 3x + 1) = 3x^2 - 10x + 3 $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các giá trị $ x $ có thể là điểm cực trị: $$ 3x^2 - 10x + 3 = 0 $$ Đây là phương trình bậc hai. Chúng ta sẽ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ ax^2 + bx + c = 0 $: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Với $ a = 3 $, $ b = -10 $, và $ c = 3 $, ta có: $$ x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6} $$ Từ đó, ta tìm được hai nghiệm: $$ x_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 $$ $$ x_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$ 3. Kết luận: Các điểm cực trị của hàm số $ y = x^3 - 5x^2 + 3x + 1 $ là $ x_0 = 3 $ và $ x_0 = \frac{1}{3} $. Do đó, đáp án đúng là: $$ D.~x_0=3 \text{ và } x_0=\frac{1}{3}. $$ Câu 34: Để tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số $ y = x^3 - 3x^2 $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2) = 3x^2 - 6x $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các giá trị của $ x $ tại đó đạo hàm bằng 0: $$ 3x^2 - 6x = 0 $$ Ta có thể nhân chung $ 3x $: $$ 3x(x - 2) = 0 $$ Giải phương trình này: $$ 3x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 2 = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 $$ 3. Thay các giá trị $ x $ vừa tìm được vào hàm số ban đầu để tìm giá trị tương ứng của $ y $: - Khi $ x = 0 $: $$ y = 0^3 - 3(0)^2 = 0 $$ Vậy điểm cực trị là $ (0, 0) $. - Khi $ x = 2 $: $$ y = 2^3 - 3(2)^2 = 8 - 12 = -4 $$ Vậy điểm cực trị là $ (2, -4) $. 4. Kết luận: Các điểm cực trị của đồ thị hàm số $ y = x^3 - 3x^2 $ là $ (0, 0) $ và $ (2, -4) $. Do đó, đáp án đúng là: $$ \boxed{C.~(0;0) \text{ và } (2;-4)} $$ Câu 35: Để tìm điểm cực đại của hàm số $ y = x^3 - 3x + 1 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 1) = 3x^2 - 3 $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn: $$ 3x^2 - 3 = 0 $$ $$ 3(x^2 - 1) = 0 $$ $$ x^2 - 1 = 0 $$ $$ x^2 = 1 $$ $$ x = \pm 1 $$ 3. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số: $$ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 3) = 6x $$ 4. Thay các điểm tới hạn vào đạo hàm bậc hai để xác định tính chất của các điểm này: - Tại $ x = 1 $: $$ y''(1) = 6 \cdot 1 = 6 > 0 $$ Điều này cho thấy $ x = 1 $ là điểm cực tiểu. - Tại $ x = -1 $: $$ y''(-1) = 6 \cdot (-1) = -6 < 0 $$ Điều này cho thấy $ x = -1 $ là điểm cực đại. Do đó, điểm cực đại của hàm số $ y = x^3 - 3x + 1 $ là $ x_0 = -1 $. Đáp án đúng là: $$ \boxed{A.~x_0 = -1} $$ Câu 36: Để tìm giá trị cực đại của hàm số $ y = x^3 - 3x + 2 $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3 $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn: $$ 3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -1 $$ 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn: - Tại $ x = 1 $: $$ y(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 $$ - Tại $ x = -1 $: $$ y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 $$ 4. So sánh các giá trị đã tính để xác định giá trị cực đại: - Giá trị của hàm số tại $ x = 1 $ là 0. - Giá trị của hàm số tại $ x = -1 $ là 4. Do đó, giá trị cực đại của hàm số $ y = x^3 - 3x + 2 $ là 4, đạt được khi $ x = -1 $. Đáp án: D. 4. Câu 37: Để tìm giá trị cực đại của hàm số $ f'(x) $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm $ f'(x) $: $$ f(x) = (x^2 - 3)^2 $$ Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp: $$ f'(x) = 2(x^2 - 3) \cdot 2x = 4x(x^2 - 3) $$ 2. Tìm đạo hàm bậc hai $ f''(x) $: $$ f'(x) = 4x(x^2 - 3) $$ Áp dụng công thức đạo hàm của tích: $$ f''(x) = 4(x^2 - 3) + 4x \cdot 2x = 4(x^2 - 3) + 8x^2 = 4x^2 - 12 + 8x^2 = 12x^2 - 12 $$ 3. Giải phương trình $ f''(x) = 0 $ để tìm các điểm dừng: $$ 12x^2 - 12 = 0 $$ $$ 12(x^2 - 1) = 0 $$ $$ x^2 - 1 = 0 $$ $$ x^2 = 1 $$ $$ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 $$ 4. Thay các giá trị $ x = 1 $ và $ x = -1 $ vào $ f'(x) $ để kiểm tra giá trị cực đại: $$ f'(1) = 4 \cdot 1 \cdot (1^2 - 3) = 4 \cdot 1 \cdot (-2) = -8 $$ $$ f'(-1) = 4 \cdot (-1) \cdot ((-1)^2 - 3) = 4 \cdot (-1) \cdot (-2) = 8 $$ Do đó, giá trị cực đại của hàm số $ f'(x) $ là 8. Đáp án đúng là: C. 8. Câu 38: Để giải quyết bài toán này, trước tiên chúng ta cần tìm tọa độ các điểm cực trị của hàm số $ y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1 $. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Đạo hàm của hàm số là: $$ y' = 3x^2 - 6x - 9. $$ Bước 2: Tìm các điểm cực trị Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình $ y' = 0 $: $$ 3x^2 - 6x - 9 = 0. $$ Chia cả hai vế cho 3, ta được: $$ x^2 - 2x - 3 = 0. $$ Giải phương trình bậc hai này, ta có: $$ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}. $$ Vậy $ x = 3 $ hoặc $ x = -1 $. Bước 3: Tìm tọa độ các điểm cực trị - Với $ x = 3 $, ta tính $ y $ tại $ x = 3 $: $$ y = 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 + 1 = 27 - 27 - 27 + 1 = -26. $$ Vậy điểm cực trị là $ A(3, -26) $. - Với $ x = -1 $, ta tính $ y $ tại $ x = -1 $: $$ y = (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 - 9 \cdot (-1) + 1 = -1 - 3 + 9 + 1 = 6. $$ Vậy điểm cực trị là $ B(-1, 6) $. Bước 4: Viết phương trình đường thẳng AB Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $ A(3, -26) $ và $ B(-1, 6) $ có hệ số góc: $$ m = \frac{6 - (-26)}{-1 - 3} = \frac{32}{-4} = -8. $$ Phương trình đường thẳng có dạng: $$ y - y_1 = m(x - x_1). $$ Chọn điểm $ A(3, -26) $, ta có: $$ y + 26 = -8(x - 3). $$ Rút gọn phương trình: $$ y + 26 = -8x + 24. $$ $$ y = -8x - 2. $$ Bước 5: Kiểm tra các điểm thuộc đường thẳng AB - Điểm $ M(0, -1) $: Thay vào phương trình $ y = -8x - 2 $: $$ -1 = -8 \cdot 0 - 2 = -2. $$ Không thỏa mãn. - Điểm $ N(1, -10) $: Thay vào phương trình $ y = -8x - 2 $: $$ -10 = -8 \cdot 1 - 2 = -10. $$ Thỏa mãn. - Điểm $ P(1, 0) $: Thay vào phương trình $ y = -8x - 2 $: $$ 0 = -8 \cdot 1 - 2 = -10. $$ Không thỏa mãn. - Điểm $ Q(-1, 10) $: Thay vào phương trình $ y = -8x - 2 $: $$ 10 = -8 \cdot (-1) - 2 = 6. $$ Không thỏa mãn. Vậy điểm thuộc đường thẳng AB là $ N(1, -10) $. Đáp án: B. N(1, -10). Câu 39: Để giải bài toán này, ta cần tìm điều kiện để đường thẳng $d: y = (2m-1)x + 3 + m$ vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 1$. Bước 1: Tìm tọa độ các điểm cực trị của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 1$. Để tìm các điểm cực trị, ta cần tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = 3x^2 - 6x. $$ Giải phương trình $y' = 0$ để tìm các điểm cực trị: $$ 3x^2 - 6x = 0 $$ $$ 3x(x - 2) = 0. $$ Phương trình này có hai nghiệm: $$ x = 0 \quad \text{và} \quad x = 2. $$ Thay các giá trị này vào hàm số ban đầu để tìm tọa độ các điểm cực trị: - Với $x = 0$, $y = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 1 = 1$. Vậy điểm cực trị là $(0, 1)$. - Với $x = 2$, $y = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3$. Vậy điểm cực trị là $(2, -3)$. Bước 2: Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $(0, 1)$ và $(2, -3)$. Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$ được tính bằng: $$ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - 1}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2. $$ Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: $$ y = -2x + 1. $$ Bước 3: Tìm điều kiện để đường thẳng $d: y = (2m-1)x + 3 + m$ vuông góc với đường thẳng $y = -2x + 1$. Hai đường thẳng vuông góc khi tích hệ số góc của chúng bằng $-1$. Do đó, ta có: $$ (2m - 1) \cdot (-2) = -1. $$ Giải phương trình: $$ -2(2m - 1) = -1 $$ $$ -4m + 2 = -1 $$ $$ -4m = -3 $$ $$ m = \frac{3}{4}. $$ Vậy giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d$ vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $\frac{3}{4}$. Đáp án: D. $m = \frac{3}{4}$. Câu 40: Để tìm các điểm cực trị của hàm số $ y = -x^4 + 2x^2 + 3 $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + 2x^2 + 3) = -4x^3 + 4x $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các giá trị tới hạn: $$ -4x^3 + 4x = 0 $$ $$ -4x(x^2 - 1) = 0 $$ $$ -4x(x - 1)(x + 1) = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 $$ 3. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số: $$ y'' = \frac{d}{dx}(-4x^3 + 4x) = -12x^2 + 4 $$ 4. Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách đánh giá dấu của $ y'' $ tại các giá trị $ x $ đã tìm được: - Tại $ x = 0 $: $$ y''(0) = -12(0)^2 + 4 = 4 > 0 $$ Do đó, $ x = 0 $ là điểm cực tiểu. - Tại $ x = 1 $: $$ y''(1) = -12(1)^2 + 4 = -12 + 4 = -8 < 0 $$ Do đó, $ x = 1 $ là điểm cực đại. - Tại $ x = -1 $: $$ y''(-1) = -12(-1)^2 + 4 = -12 + 4 = -8 < 0 $$ Do đó, $ x = -1 $ là điểm cực đại. 5. Kết luận: Hàm số $ y = -x^4 + 2x^2 + 3 $ có 1 điểm cực tiểu tại $ x = 0 $ và 2 điểm cực đại tại $ x = 1 $ và $ x = -1 $. Do đó, đáp án đúng là: $$ \boxed{\text{D. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.}} $$ Câu 41: Để tính diện tích của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $ y = x^4 - 2x^2 + 3 $, ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 3) = 4x^3 - 4x. $$ Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình $ y' = 0 $: $$ 4x^3 - 4x = 0 $$ $$ 4x(x^2 - 1) = 0 $$ $$ 4x(x - 1)(x + 1) = 0. $$ Phương trình này có các nghiệm là $ x = 0 $, $ x = 1 $, và $ x = -1 $. Bước 2: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị. - Với $ x = 0 $, ta có $ y = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 3 = 3 $. Vậy điểm cực trị là $ (0, 3) $. - Với $ x = 1 $, ta có $ y = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 $. Vậy điểm cực trị là $ (1, 2) $. - Với $ x = -1 $, ta có $ y = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 $. Vậy điểm cực trị là $ (-1, 2) $. Bước 3: Tính diện tích tam giác với ba đỉnh là các điểm cực trị. Ba điểm cực trị là $ A(0, 3) $, $ B(1, 2) $, và $ C(-1, 2) $. Diện tích tam giác $ ABC $ được tính bằng công thức: $$ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| $$ Với $ A(0, 3) $, $ B(1, 2) $, $ C(-1, 2) $, ta có: $$ S = \frac{1}{2} \left| 0(2 - 2) + 1(2 - 3) + (-1)(3 - 2) \right| $$ $$ = \frac{1}{2} \left| 0 + 1(-1) + (-1)(1) \right| $$ $$ = \frac{1}{2} \left| -1 - 1 \right| $$ $$ = \frac{1}{2} \times 2 = 1. $$ Vậy diện tích của tam giác là $ S = 1 $. Đáp án đúng là B. $ S = 1. $ Câu 42: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ y = x^5 + 2x^3 - 1 $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^5 + 2x^3 - 1) = 5x^4 + 6x^2 $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn: $$ 5x^4 + 6x^2 = 0 $$ Ta có thể nhân chung $ x^2 $: $$ x^2(5x^2 + 6) = 0 $$ Từ đây suy ra: $$ x^2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 5x^2 + 6 = 0 $$ Giải tiếp: $$ x = 0 \quad \text{(vì $ 5x^2 + 6 = 0 $ vô nghiệm)} $$ 3. Xác định tính chất của các điểm tới hạn: - Ta thấy rằng $ x = 0 $ là duy nhất nghiệm của phương trình $ y' = 0 $. 4. Kiểm tra dấu của đạo hàm $ y' $ xung quanh điểm $ x = 0 $: - Khi $ x < 0 $, $ y' = 5x^4 + 6x^2 > 0 $ (vì cả $ 5x^4 $ và $ 6x^2 $ đều dương). - Khi $ x > 0 $, $ y' = 5x^4 + 6x^2 > 0 $ (vì cả $ 5x^4 $ và $ 6x^2 $ đều dương). Do đó, đạo hàm $ y' $ không đổi dấu tại $ x = 0 $, nghĩa là $ x = 0 $ không phải là điểm cực trị. 5. Kết luận: Hàm số $ y = x^5 + 2x^3 - 1 $ không có điểm cực trị. Đáp án: A. 0 Câu 43: Để tìm các điểm cực trị của hàm số $ y = \sqrt[3]{x^2} $, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số $ y = \sqrt[3]{x^2} $ có thể viết lại dưới dạng $ y = x^{2/3} $. Đạo hàm của $ y $ theo $ x $ là: $$ y' = \frac{d}{dx} \left( x^{2/3} \right) = \frac{2}{3} x^{-1/3} $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $: $$ \frac{2}{3} x^{-1/3} = 0 $$ Phương trình này không có nghiệm vì $ x^{-1/3} \neq 0 $ với mọi $ x \neq 0 $. 3. Kiểm tra đạo hàm tại $ x = 0 $: Tại $ x = 0 $, đạo hàm $ y' $ không tồn tại vì $ x^{-1/3} $ không xác định tại $ x = 0 $. 4. Xác định tính chất của hàm số quanh $ x = 0 $: - Khi $ x > 0 $, $ y' = \frac{2}{3} x^{-1/3} > 0 $ (hàm số tăng). - Khi $ x < 0 $, $ y' = \frac{2}{3} x^{-1/3} < 0 $ (hàm số giảm). Do đó, tại $ x = 0 $, hàm số chuyển từ giảm sang tăng, tức là có một điểm cực tiểu. 5. Kết luận: Hàm số $ y = \sqrt[3]{x^2} $ có đúng 1 điểm cực trị tại $ x = 0 $. Vậy đáp án là: B. 1. Câu 44: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ y = |x|^3 - 3x + 1 $, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định đạo hàm của hàm số: Hàm số $ y = |x|^3 - 3x + 1 $ có thể được viết lại thành hai trường hợp: - Khi $ x \geq 0 $: $ y = x^3 - 3x + 1 $ - Khi $ x < 0 $: $ y = (-x)^3 - 3x + 1 = -x^3 - 3x + 1 $ 2. Tìm đạo hàm của mỗi trường hợp: - Khi $ x \geq 0 $: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 1) = 3x^2 - 3 $$ - Khi $ x < 0 $: $$ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 - 3x + 1) = -3x^2 - 3 $$ 3. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm dừng: - Khi $ x \geq 0 $: $$ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \quad (\text{vì } x \geq 0) $$ - Khi $ x < 0 $: $$ -3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = -1 \quad (\text{không có nghiệm thực}) $$ 4. Kiểm tra tính chất của đạo hàm tại $ x = 0 $: - Khi $ x = 0 $: $$ y' = 3(0)^2 - 3 = -3 \quad (\text{vì } x \geq 0) $$ $$ y' = -3(0)^2 - 3 = -3 \quad (\text{vì } x < 0) $$ - Đạo hàm liên tục tại $ x = 0 $. 5. Xác định các điểm cực trị: - Điểm dừng duy nhất là $ x = 1 $. - Kiểm tra dấu của đạo hàm trước và sau $ x = 1 $: - Khi $ x $ gần 1 từ bên trái: $ y' = 3x^2 - 3 $ sẽ âm. - Khi $ x $ gần 1 từ bên phải: $ y' = 3x^2 - 3 $ sẽ dương. - Do đó, $ x = 1 $ là điểm cực tiểu. 6. Kết luận: Hàm số $ y = |x|^3 - 3x + 1 $ có 1 điểm cực trị. Đáp án: B. 1