giải phương trình bằng phương trình tích

Điều kiện xác định: \( x \neq 1, x \neq 2, x \neq 6, x \neq 3 \). Phương trình đã cho: \[ \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} = \frac{6}{x-6} + \frac{3}{x-3}. \] Nhân cả hai vế của phương trình với \( (x-1)(x-2)(x-6)(x-3) \) để loại bỏ mẫu số: \[ (x-2)(x-6)(x-3) + 2(x-1)(x-6)(x-3) = 6(x-1)(x-2)(x-3) + 3(x-1)(x-2)(x-6). \] Rút gọn từng hạng tử: \[ (x-2)(x-6)(x-3) = (x-2)[(x-6)(x-3)] = (x-2)(x^2 - 9x + 18) = x^3 - 9x^2 + 18x - 2x^2 + 18x - 36 = x^3 - 11x^2 + 36x - 36, \] \[ 2(x-1)(x-6)(x-3) = 2[(x-1)(x-6)(x-3)] = 2(x-1)(x^2 - 9x + 18) = 2(x^3 - 9x^2 + 18x - x^2 + 9x - 18) = 2(x^3 - 10x^2 + 27x - 18) = 2x^3 - 20x^2 + 54x - 36, \] \[ 6(x-1)(x-2)(x-3) = 6[(x-1)(x-2)(x-3)] = 6(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) = 6x^3 - 36x^2 + 66x - 36, \] \[ 3(x-1)(x-2)(x-6) = 3[(x-1)(x-2)(x-6)] = 3(x^3 - 9x^2 + 26x - 12) = 3x^3 - 27x^2 + 78x - 36. \] Tổng hợp lại: \[ x^3 - 11x^2 + 36x - 36 + 2x^3 - 20x^2 + 54x - 36 = 6x^3 - 36x^2 + 66x - 36 + 3x^3 - 27x^2 + 78x - 36. \] Gộp các hạng tử đồng dạng: \[ 3x^3 - 31x^2 + 90x - 72 = 9x^3 - 63x^2 + 144x - 72. \] Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: \[ 3x^3 - 31x^2 + 90x - 72 - 9x^3 + 63x^2 - 144x + 72 = 0. \] Gộp các hạng tử đồng dạng: \[ -6x^3 + 32x^2 - 54x = 0. \] Chia cả hai vế cho -2: \[ 3x^3 - 16x^2 + 27x = 0. \] Phân tích thành nhân tử: \[ x(3x^2 - 16x + 27) = 0. \] Giải phương trình: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 3x^2 - 16x + 27 = 0. \] Giải phương trình bậc hai: \[ 3x^2 - 16x + 27 = 0. \] Dùng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] với \( a = 3, b = -16, c = 27 \): \[ x = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 27}}{2 \cdot 3} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 324}}{6} = \frac{16 \pm \sqrt{-68}}{6}. \] Do \( \sqrt{-68} \) không thực tế, ta chỉ lấy nghiệm \( x = 0 \). Kiểm tra điều kiện xác định: \[ x = 0 \quad \text{(không thỏa mãn điều kiện)} \] Vậy phương trình vô nghiệm.