giúp t vs ôsososo

Câu 17: a) Nhân cả hai vế với 12 để loại bỏ mẫu số: \[ 12 \cdot \frac{5x-2}{2} < 12 \cdot \left(\frac{1+5x}{4} + \frac{5(3-x)}{6}\right) \] \[ 6(5x-2) < 3(1+5x) + 2 \cdot 5(3-x) \] \[ 30x - 12 < 3 + 15x + 30 - 10x \] \[ 30x - 12 < 33 + 5x \] \[ 25x < 45 \] \[ x < \frac{9}{5} \] b) Nhân cả hai vế với 20 để loại bỏ mẫu số: \[ 20 \cdot \left(\frac{2x-1}{5} - \frac{x-5}{4}\right) \leq 20 \cdot \left(\frac{x}{20} + 1\right) \] \[ 4(2x-1) - 5(x-5) \leq x + 20 \] \[ 8x - 4 - 5x + 25 \leq x + 20 \] \[ 3x + 21 \leq x + 20 \] \[ 2x \leq -1 \] \[ x \leq -\frac{1}{2} \] Câu 18: a) Nhân cả hai vế với 60 để loại bỏ mẫu số: \[ 15(2x - 3) - 20(x + 1) > 30 - 12(3 - x) \] \[ 30x - 45 - 20x - 20 > 30 - 36 + 12x \] \[ 10x - 65 > -6 + 12x \] \[ -65 + 6 > 12x - 10x \] \[ -59 > 2x \] \[ x < -\frac{59}{2} \] b) Nhân cả hai vế với 6 để loại bỏ mẫu số: \[ 2(2x + 1) - 6x + 6 \leq 3 - 5x - 12x - 3 \] \[ 4x + 2 - 6x + 6 \leq 3 - 5x - 12x - 3 \] \[ -2x + 8 \leq -17x \] \[ 8 \leq -15x \] \[ x \geq -\frac{8}{15} \] Câu 19: a) $(x-3)(x+3)< 0$ Ta có: $(x-3)(x+3)=0$ $\Leftrightarrow x=3$ hoặc $x=-3$ Ta có bảng xét dấu sau: \begin{array}{|c|ccccc|} \hline & (-\infty, -3) & (-3, 3) & (3, \infty) \\ \hline x+3 & - & + & + \\ \hline x-3 & - & - & + \\ \hline (x-3)(x+3) & + & - & + \\ \hline \end{array} Từ bảng xét dấu ta thấy $(x-3)(x+3)< 0$ khi $-3< x< 3$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-3, 3)$. b) $x^2+4x>2(x+4)$ Ta có: $x^2+4x>2(x+4)$ $\Leftrightarrow x^2+4x-2x-8>0$ $\Leftrightarrow x^2+2x-8>0$ $\Leftrightarrow (x+4)(x-2)>0$ Ta có: $(x+4)(x-2)=0$ $\Leftrightarrow x=-4$ hoặc $x=2$ Ta có bảng xét dấu sau: \begin{array}{|c|ccccc|} \hline & (-\infty, -4) & (-4, 2) & (2, \infty) \\ \hline x+4 & - & + & + \\ \hline x-2 & - & - & + \\ \hline (x+4)(x-2) & + & - & + \\ \hline \end{array} Từ bảng xét dấu ta thấy $(x+4)(x-2)>0$ khi $x< -4$ hoặc $x>2$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-\infty, -4) \cup (2, \infty)$. c) $(5x-1)^2\leq(x+1)^2$ Ta có: $(5x-1)^2\leq(x+1)^2$ $\Leftrightarrow (5x-1)^2-(x+1)^2\leq 0$ $\Leftrightarrow [(5x-1)-(x+1)][(5x-1)+(x+1)]\leq 0$ $\Leftrightarrow (4x-2)(6x)\leq 0$ $\Leftrightarrow 2(2x-1)6x\leq 0$ $\Leftrightarrow 12x(2x-1)\leq 0$ Ta có: $12x(2x-1)=0$ $\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\frac{1}{2}$ Ta có bảng xét dấu sau: \begin{array}{|c|ccccc|} \hline & (-\infty, 0) & (0, \frac{1}{2}) & (\frac{1}{2}, \infty) \\ \hline 2x-1 & - & - & + \\ \hline x & - & + & + \\ \hline 12x(2x-1) & + & - & + \\ \hline \end{array} Từ bảng xét dấu ta thấy $12x(2x-1)\leq 0$ khi $0\leq x\leq \frac{1}{2}$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=[0, \frac{1}{2}]$. Câu 20: a) Ta có \(x^2+1>0\) với mọi \(x.\) Do đó \(x^2+1<0\) vô nghiệm. Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm. b) Ta có \((2-x)(x+1)\geq0\) \(\Leftrightarrow (-1)(x-2)(x+1)\geq0\) \(\Leftrightarrow (x-2)(x+1)\leq0\) Ta có bảng xét dấu sau: \[ \begin{array}{c|ccc} x & -\infty & -1 & 2 & +\infty \\ \hline x+1 & - & 0 & + & + \\ x-2 & - & - & 0 & + \\ (x-2)(x+1) & + & 0 & - & 0 \\ \end{array} \] Từ bảng xét dấu ta thấy \((x-2)(x+1)\leq0\) khi \(x \in [-1, 2].\) Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \([-1, 2].\) c) Ta có \(x^2-5x+4>0\) \(\Leftrightarrow x^2-5x+4=0\) \(\Leftrightarrow (x-1)(x-4)=0\) \(\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=4\) Ta có bảng xét dấu sau: \[ \begin{array}{c|ccc} x & -\infty & 1 & 4 & +\infty \\ \hline x-1 & - & 0 & + & + \\ x-4 & - & - & 0 & + \\ (x-1)(x-4) & + & 0 & - & 0 \\ \end{array} \] Từ bảng xét dấu ta thấy \((x-1)(x-4)>0\) khi \(x \in (-\infty, 1) \cup (4, +\infty).\) Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \((- \infty, 1) \cup (4, +\infty).\) Đáp số: a) Vô nghiệm; b) \([-1, 2];\) c) \((- \infty, 1) \cup (4, +\infty).\) Câu 21: a) \( x^3 - 2x^2 + 3x - 6 < 0 \) Ta có: \[ x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = x^2(x - 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(x^2 + 3) \] Do \( x^2 + 3 > 0 \) với mọi \( x \), nên bất phương trình tương đương với: \[ x - 2 < 0 \] \[ x < 2 \] Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[ x < 2 \] b) \( 2(x^2 - 1) > 5x - 4 \) Ta có: \[ 2x^2 - 2 > 5x - 4 \] \[ 2x^2 - 5x + 2 > 0 \] Xét phương trình \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \): \[ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \] \[ \sqrt{\Delta} = 3 \] Nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2 \] \[ x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} \] Bảng xét dấu của \( 2x^2 - 5x + 2 \): | \( x \) | \( -\infty \) | \( \frac{1}{2} \) | \( 2 \) | \( +\infty \) | |------------------|----------------|---------------------|----------|----------------| | \( 2x^2 - 5x + 2 \) | \( + \) | \( - \) | \( + \) | \( + \) | Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[ x < \frac{1}{2} \text{ hoặc } x > 2 \] c) \( (3x - 1)(x + 2) \leq x^2 + 5y \) Ta có: \[ 3x^2 + 6x - x - 2 \leq x^2 + 5y \] \[ 3x^2 + 5x - 2 \leq x^2 + 5y \] \[ 2x^2 + 5x - 2 \leq 5y \] Vì \( y \) là biến tự do, ta không thể giải trực tiếp bất phương trình này. Tuy nhiên, ta có thể viết lại dưới dạng: \[ 2x^2 + 5x - 2 \leq 5y \] Vậy nghiệm của bất phương trình phụ thuộc vào giá trị của \( y \). Câu 22: a) $\frac{2}{5-2x} > 0$ Điều kiện xác định: $5 - 2x \neq 0$ hay $x \neq \frac{5}{2}$. Phân số $\frac{2}{5-2x}$ sẽ dương nếu mẫu số $5 - 2x$ cũng dương: \[ 5 - 2x > 0 \] \[ -2x > -5 \] \[ x < \frac{5}{2} \] Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[ x < \frac{5}{2} \] b) $\frac{2x-6}{x+1} \geq 0$ Điều kiện xác định: $x + 1 \neq 0$ hay $x \neq -1$. Phân số $\frac{2x-6}{x+1}$ sẽ không âm nếu tử số và mẫu số cùng dấu hoặc bằng 0: \[ 2x - 6 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = 0 \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Ta xét các khoảng: 1. Khi $x < -1$, cả tử số và mẫu số đều âm, nên phân số dương. 2. Khi $-1 < x < 3$, tử số âm và mẫu số dương, nên phân số âm. 3. Khi $x > 3$, cả tử số và mẫu số đều dương, nên phân số dương. Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[ x < -1 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 3 \] c) $\frac{2x-1}{x+3} \leq 2$ Điều kiện xác định: $x + 3 \neq 0$ hay $x \neq -3$. Chuyển vế để viết lại bất phương trình: \[ \frac{2x-1}{x+3} - 2 \leq 0 \] \[ \frac{2x-1 - 2(x+3)}{x+3} \leq 0 \] \[ \frac{2x-1 - 2x - 6}{x+3} \leq 0 \] \[ \frac{-7}{x+3} \leq 0 \] Phân số $\frac{-7}{x+3}$ sẽ không dương nếu mẫu số $x + 3$ dương: \[ x + 3 > 0 \] \[ x > -3 \] Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[ x > -3 \] Câu 23: a) $\frac{x+1}{x-1}>\frac16$ Điều kiện xác định: $x \neq 1$. Ta có: $\frac{x+1}{x-1}-\frac16>0$ $\frac{6(x+1)-(x-1)}{6(x-1)}>0$ $\frac{5x+7}{6(x-1)}>0$ Từ đây ta có bảng xét dấu: | x | -∞ | -7/5 | 1 | +∞ | |---|---|---|---|---| | 5x+7 | - | 0 | + | + | | 6(x-1) | - | - | 0 | + | | $\frac{5x+7}{6(x-1)}$ | + | 0 | - | + | Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < -\frac{7}{5}$ hoặc $x > 1$. b) $\frac{-3x}{x+3}< -3$ Điều kiện xác định: $x \neq -3$. Ta có: $\frac{-3x}{x+3}+3< 0$ $\frac{-3x+3(x+3)}{x+3}< 0$ $\frac{9}{x+3}< 0$ Từ đây ta có bảng xét dấu: | x | -∞ | -3 | +∞ | |---|---|---|---| | 9 | + | + | + | | x+3 | - | 0 | + | | $\frac{9}{x+3}$ | - | 0 | + | Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < -3$. c) $\frac{1-5x}{x-4}\leq2$ Điều kiện xác định: $x \neq 4$. Ta có: $\frac{1-5x}{x-4}-2\leq0$ $\frac{1-5x-2(x-4)}{x-4}\leq0$ $\frac{-7x+9}{x-4}\leq0$ Từ đây ta có bảng xét dấu: | x | -∞ | 9/7 | 4 | +∞ | |---|---|---|---|---| | -7x+9 | + | 0 | - | - | | x-4 | - | - | 0 | + | | $\frac{-7x+9}{x-4}$ | + | 0 | - | + | Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \geq \frac{9}{7}$ hoặc $x < 4$. Câu 24: a) Ta có \( x^2 - x + 1 = \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Do đó, \( \frac{3x^2 - 7x + 4}{x^2 - x + 1} < 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 7x + 4 < 0 \Leftrightarrow \frac{4}{3} < x < 1 \). b) ĐKXĐ: \( x \neq 0; x \neq 2 \). Ta có: \[ \begin{array}{l} \frac{x}{x-2} + \frac{x+2}{x} > 2 \\ \Leftrightarrow \frac{x}{x-2} + \frac{x+2}{x} - 2 > 0 \\ \Leftrightarrow \frac{x^2 + (x+2)(x-2) - 2x(x-2)}{x(x-2)} > 0 \\ \Leftrightarrow \frac{x^2 + x^2 - 4 - 2x^2 + 4x}{x(x-2)} > 0 \\ \Leftrightarrow \frac{4x - 4}{x(x-2)} > 0 \\ \Leftrightarrow \frac{x - 1}{x(x-2)} > 0 \end{array} \] Ta có bảng xét dấu sau: \[ \begin{array}{c|cccccc} x & -\infty & 0 & 1 & 2 & +\infty \\ \hline x & - & 0 & + & + & + \\ x - 1 & - & - & 0 & + & + \\ x - 2 & - & - & - & 0 & + \\ \frac{x - 1}{x(x-2)} & + & 0 & - & 0 & + \end{array} \] Từ bảng xét dấu, ta thấy \( \frac{x - 1}{x(x-2)} > 0 \) khi \( x \in (-\infty, 0) \cup (1, 2) \). c) ĐKXĐ: \( x \neq 2; x \neq -\frac{5}{3} \). Ta có: \[ \begin{array}{l} \frac{1}{x-2} > \frac{3}{3x+5} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{x-2} - \frac{3}{3x+5} > 0 \\ \Leftrightarrow \frac{3x+5 - 3(x-2)}{(x-2)(3x+5)} > 0 \\ \Leftrightarrow \frac{11}{(x-2)(3x+5)} > 0 \\ \Leftrightarrow (x-2)(3x+5) > 0 \end{array} \] Ta có bảng xét dấu sau: \[ \begin{array}{c|cccccc} x & -\infty & -\frac{5}{3} & 2 & +\infty \\ \hline x - 2 & - & - & 0 & + \\ 3x + 5 & - & 0 & + & + \\ (x-2)(3x+5) & + & 0 & - & + \end{array} \] Từ bảng xét dấu, ta thấy \( (x-2)(3x+5) > 0 \) khi \( x \in (-\infty, -\frac{5}{3}) \cup (2, +\infty) \). Câu 25: Điều kiện xác định: \( x \neq -8; x \neq -3 \) Ta có: \[ \frac{-x+1}{x+8} + \frac{x-1}{x+3} = \frac{(-x+1)(x+3) + (x-1)(x+8)}{(x+8)(x+3)} \] \[ = \frac{-x^2 - 3x + x + 3 + x^2 + 8x - x - 8}{(x+8)(x+3)} \] \[ = \frac{4x - 5}{(x+8)(x+3)} \] Biểu thức \(\frac{4x - 5}{(x+8)(x+3)}\) nhận giá trị dương khi: \[ (4x - 5)(x+8)(x+3) > 0 \] Xét các khoảng trên trục số: 1. \( x < -8 \): Tất cả các nhân tử đều âm, tích âm. 2. \( -8 < x < -3 \): \( x+8 > 0 \), \( x+3 < 0 \), \( 4x - 5 < 0 \), tích âm. 3. \( -3 < x < \frac{5}{4} \): \( x+8 > 0 \), \( x+3 > 0 \), \( 4x - 5 < 0 \), tích âm. 4. \( x > \frac{5}{4} \): Tất cả các nhân tử đều dương, tích dương. Do đó, biểu thức nhận giá trị dương khi: \[ x > \frac{5}{4} \]