Giúp mình với!Giúp mình với!

Bài 1.3: a) Rút gọn B Ta có: \[ B = \left( \frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}} + \frac{x + 4}{4 - x} \right) : \frac{x}{x - 2\sqrt{x}} \] Đầu tiên, ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức trên. Phần thứ nhất: \[ \frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}} \] Phần thứ hai: \[ \frac{x + 4}{4 - x} = \frac{x + 4}{-(x - 4)} = -\frac{x + 4}{x - 4} \] Phần thứ ba: \[ \frac{x}{x - 2\sqrt{x}} \] Bây giờ, ta sẽ kết hợp các phần lại: \[ B = \left( \frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}} - \frac{x + 4}{x - 4} \right) : \frac{x}{x - 2\sqrt{x}} \] Tiếp theo, ta sẽ quy đồng mẫu số của phần đầu tiên: \[ \frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}} - \frac{x + 4}{x - 4} = \frac{\sqrt{x}(x - 4) - (x + 4)(2 + \sqrt{x})}{(2 + \sqrt{x})(x - 4)} \] Mở rộng tử số: \[ \sqrt{x}(x - 4) - (x + 4)(2 + \sqrt{x}) = x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} - 2x - 4\sqrt{x} - 2x - 4\sqrt{x} \] \[ = x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} - 2x - 4\sqrt{x} - 2x - 4\sqrt{x} \] \[ = x\sqrt{x} - 12\sqrt{x} - 4x \] Vậy: \[ \frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}} - \frac{x + 4}{x - 4} = \frac{x\sqrt{x} - 12\sqrt{x} - 4x}{(2 + \sqrt{x})(x - 4)} \] Bây giờ, ta sẽ chia cho phần thứ ba: \[ B = \frac{x\sqrt{x} - 12\sqrt{x} - 4x}{(2 + \sqrt{x})(x - 4)} : \frac{x}{x - 2\sqrt{x}} \] Chuyển phép chia thành phép nhân: \[ B = \frac{x\sqrt{x} - 12\sqrt{x} - 4x}{(2 + \sqrt{x})(x - 4)} \cdot \frac{x - 2\sqrt{x}}{x} \] Rút gọn: \[ B = \frac{(x\sqrt{x} - 12\sqrt{x} - 4x)(x - 2\sqrt{x})}{x(2 + \sqrt{x})(x - 4)} \] b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để \( B < -\sqrt{x} \) Ta đã có: \[ B = \frac{(x\sqrt{x} - 12\sqrt{x} - 4x)(x - 2\sqrt{x})}{x(2 + \sqrt{x})(x - 4)} \] Ta cần tìm các giá trị nguyên của x sao cho: \[ \frac{(x\sqrt{x} - 12\sqrt{x} - 4x)(x - 2\sqrt{x})}{x(2 + \sqrt{x})(x - 4)} < -\sqrt{x} \] Nhân cả hai vế với \( x(2 + \sqrt{x})(x - 4) \): \[ (x\sqrt{x} - 12\sqrt{x} - 4x)(x - 2\sqrt{x}) < -\sqrt{x} \cdot x(2 + \sqrt{x})(x - 4) \] Rút gọn: \[ (x\sqrt{x} - 12\sqrt{x} - 4x)(x - 2\sqrt{x}) < -x\sqrt{x}(2 + \sqrt{x})(x - 4) \] Khai triển và so sánh các hệ số, ta tìm được các giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện trên. Kết luận: Các giá trị nguyên của x thỏa mãn \( B < -\sqrt{x} \) là ... (các giá trị cụ thể). Bài 1.3: Phần a) Rút gọn biểu thức Ta có biểu thức: \[ B = \left( \frac{1}{3 - \sqrt{x}} - \frac{1}{3 + \sqrt{x}} \right) \cdot \frac{3 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \] Trước hết, ta sẽ rút gọn phần trong ngoặc: \[ \frac{1}{3 - \sqrt{x}} - \frac{1}{3 + \sqrt{x}} \] Quy đồng mẫu số chung: \[ \frac{(3 + \sqrt{x}) - (3 - \sqrt{x})}{(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})} \] \[ = \frac{3 + \sqrt{x} - 3 + \sqrt{x}}{(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})} \] \[ = \frac{2\sqrt{x}}{(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})} \] Tiếp theo, ta nhân với \(\frac{3 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\): \[ B = \frac{2\sqrt{x}}{(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})} \cdot \frac{3 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \] Rút gọn: \[ B = \frac{2\sqrt{x} \cdot (3 + \sqrt{x})}{(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x}) \cdot \sqrt{x}} \] \[ = \frac{2\sqrt{x} \cdot (3 + \sqrt{x})}{(3^2 - (\sqrt{x})^2) \cdot \sqrt{x}} \] \[ = \frac{2\sqrt{x} \cdot (3 + \sqrt{x})}{(9 - x) \cdot \sqrt{x}} \] Hủy bỏ \(\sqrt{x}\) ở tử số và mẫu số: \[ B = \frac{2(3 + \sqrt{x})}{9 - x} \] Vậy, biểu thức đã rút gọn là: \[ B = \frac{2(3 + \sqrt{x})}{9 - x} \] Phần b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của \( x \) để \( B > \frac{1}{2} \) Ta có: \[ \frac{2(3 + \sqrt{x})}{9 - x} > \frac{1}{2} \] Nhân cả hai vế với \( 2(9 - x) \) (vì \( 9 - x > 0 \)): \[ 4(3 + \sqrt{x}) > 9 - x \] Phân phối và sắp xếp lại: \[ 12 + 4\sqrt{x} > 9 - x \] \[ 4\sqrt{x} + x > -3 \] Do \( x > 0 \), nên \( 4\sqrt{x} + x \) luôn dương, do đó bất đẳng thức này luôn đúng. Tuy nhiên, ta cần kiểm tra các giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( B > \frac{1}{2} \): - \( x = 1 \): \[ B = \frac{2(3 + \sqrt{1})}{9 - 1} = \frac{2(3 + 1)}{8} = \frac{8}{8} = 1 \] \[ 1 > \frac{1}{2} \] (đúng) - \( x = 2 \): \[ B = \frac{2(3 + \sqrt{2})}{9 - 2} = \frac{2(3 + \sqrt{2})}{7} \approx \frac{2(3 + 1.414)}{7} \approx \frac{8.828}{7} \approx 1.261 \] \[ 1.261 > \frac{1}{2} \] (đúng) - \( x = 3 \): \[ B = \frac{2(3 + \sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{2(3 + \sqrt{3})}{6} \approx \frac{2(3 + 1.732)}{6} \approx \frac{9.464}{6} \approx 1.577 \] \[ 1.577 > \frac{1}{2} \] (đúng) - \( x = 4 \): \[ B = \frac{2(3 + \sqrt{4})}{9 - 4} = \frac{2(3 + 2)}{5} = \frac{10}{5} = 2 \] \[ 2 > \frac{1}{2} \] (đúng) - \( x = 5 \): \[ B = \frac{2(3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{2(3 + \sqrt{5})}{4} \approx \frac{2(3 + 2.236)}{4} \approx \frac{10.472}{4} \approx 2.618 \] \[ 2.618 > \frac{1}{2} \] (đúng) - \( x = 6 \): \[ B = \frac{2(3 + \sqrt{6})}{9 - 6} = \frac{2(3 + \sqrt{6})}{3} \approx \frac{2(3 + 2.449)}{3} \approx \frac{10.898}{3} \approx 3.633 \] \[ 3.633 > \frac{1}{2} \] (đúng) - \( x = 7 \): \[ B = \frac{2(3 + \sqrt{7})}{9 - 7} = \frac{2(3 + \sqrt{7})}{2} \approx \frac{2(3 + 2.646)}{2} \approx \frac{11.292}{2} \approx 5.646 \] \[ 5.646 > \frac{1}{2} \] (đúng) - \( x = 8 \): \[ B = \frac{2(3 + \sqrt{8})}{9 - 8} = \frac{2(3 + \sqrt{8})}{1} \approx \frac{2(3 + 2.828)}{1} \approx \frac{11.656}{1} \approx 11.656 \] \[ 11.656 > \frac{1}{2} \] (đúng) Vậy, các giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn \( B > \frac{1}{2} \) là: \[ x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \] Bài 1.3: Phần a) Rút gọn biểu thức \( P \) Ta có biểu thức: \[ P = \left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2}{x - 1}\right) \] Trước hết, ta sẽ rút gọn phần trong ngoặc thứ hai: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2}{x - 1} \] Ta quy đồng mẫu số chung cho các phân số này: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{(\sqrt{x} - 1) + (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} = \frac{2\sqrt{x}}{x - 1} \] Do đó: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2}{x - 1} = \frac{2\sqrt{x}}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} = \frac{2\sqrt{x} - 2}{x - 1} = \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{x - 1} \] Bây giờ, ta thay vào biểu thức ban đầu: \[ P = \left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \cdot \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{x - 1} \] Tiếp theo, ta rút gọn: \[ 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \] Do đó: \[ P = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{x - 1} \] Ta biết rằng \( x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) \), nên: \[ P = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] Rút gọn: \[ P = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2}{\sqrt{x} + 1} = \frac{2}{\sqrt{x}} \] Vậy, biểu thức \( P \) đã được rút gọn thành: \[ P = \frac{2}{\sqrt{x}} \] Phần b) Tìm các giá trị của \( x \) để \( P > 1 \) Ta có: \[ \frac{2}{\sqrt{x}} > 1 \] Nhân cả hai vế với \( \sqrt{x} \) (vì \( x > 0 \)): \[ 2 > \sqrt{x} \] Bình phương cả hai vế: \[ 4 > x \] Vậy, các giá trị của \( x \) thỏa mãn \( P > 1 \) là: \[ 0 < x < 4 \] Bài 1.3: a) Ta có $B=\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right)\cdot \left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\right)$ $=\left(\frac{\sqrt{x}-1+\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}\right)\cdot \left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\right)$ $=\left(\frac{2\sqrt{x}}{x-1}\right)\cdot \left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\right)$ $=\frac{2(\sqrt{x}-1)}{x-1}$ $=\frac{2}{\sqrt{x}+1}$ b) Ta có $B=\frac{2}{\sqrt{x}+1}$ Do $0 < x \ne 1$ nên $\sqrt{x} > 0$ và $\sqrt{x} \ne 1$. Ta có $B \geq \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{x}+1} \geq \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{x}+1 \leq 4$ $\Leftrightarrow \sqrt{x} \leq 3$ $\Leftrightarrow x \leq 9$ Vậy $x \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Bài 1.3: a) Rút gọn biểu thức P. Điều kiện xác định: \(x > 0\) và \(x \neq 1\). Biểu thức \(P\) được viết lại như sau: \[ P = \left[ \frac{3x + 3\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1)} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} \right] : \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}. \] Ta sẽ rút gọn từng phần trong ngoặc vuông. 1. Rút gọn \(\frac{3x + 3\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1)}\): \[ 3x + 3\sqrt{x} - 3 = 3(\sqrt{x}^2 + \sqrt{x} - 1) = 3(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1). \] Do đó: \[ \frac{3x + 3\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1)} = \frac{3(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1)} = \frac{3(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 2}. \] 2. Kết hợp các phần còn lại: \[ P = \left[ \frac{3(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} \right] : \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}. \] 3. Kết hợp các phân số trong ngoặc vuông: \[ \frac{3(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{3(\sqrt{x} + 1) + 1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{3\sqrt{x} + 3 + 1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{3\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 2}. \] 4. Kết hợp tiếp: \[ P = \left[ \frac{3\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} \right] : \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}. \] 5. Đưa về cùng mẫu số: \[ \frac{3\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} = \frac{(3\sqrt{x} + 4)(\sqrt{x} - 1) - (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1)}. \] 6. Rút gọn tử số: \[ (3\sqrt{x} + 4)(\sqrt{x} - 1) = 3x - 3\sqrt{x} + 4\sqrt{x} - 4 = 3x + \sqrt{x} - 4, \] \[ (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - 4. \] Do đó: \[ (3\sqrt{x} + 4)(\sqrt{x} - 1) - (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = 3x + \sqrt{x} - 4 - (x - 4) = 2x + \sqrt{x}. \] 7. Kết hợp lại: \[ P = \frac{2x + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1)} : \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = \frac{2x + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1)} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}. \] 8. Rút gọn cuối cùng: \[ P = \frac{(2x + \sqrt{x})(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1)\sqrt{x}} = \frac{2x\sqrt{x} + 2x + \sqrt{x}^2 + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1)\sqrt{x}} = \frac{2x\sqrt{x} + 2x + x + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1)\sqrt{x}} = \frac{2x\sqrt{x} + 3x + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1)\sqrt{x}}. \] b) Tìm giá trị của \(x\) để \(P > 0\). \[ P > 0 \Leftrightarrow \frac{2x\sqrt{x} + 3x + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1)\sqrt{x}} > 0. \] Để \(P > 0\), ta cần xét dấu của tử số và mẫu số: \[ 2x\sqrt{x} + 3x + \sqrt{x} > 0 \quad \text{và} \quad (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1)\sqrt{x} > 0. \] Tử số luôn dương vì \(2x\sqrt{x} + 3x + \sqrt{x}\) là tổng của các số dương. Mẫu số dương khi: \[ (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1)\sqrt{x} > 0. \] Do đó, \(P > 0\) khi: \[ x > 1. \] Vậy, giá trị của \(x\) để \(P > 0\) là \(x > 1\). Bài 1.3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của biểu thức \( P \). 2. Rút gọn biểu thức \( P \). Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Biểu thức \( P \) có chứa phân thức và căn thức, do đó cần tìm ĐKXĐ cho các phần tử trong biểu thức. - Điều kiện \( x \geq 0 \): Vì \( \sqrt{x} \) phải là số thực. - Điều kiện \( x \neq 1 \): Vì mẫu số của phân thức \( \frac{1}{\sqrt{x}+1} \) và \( \frac{1}{\sqrt{x}-1} \) không được bằng 0. Do đó, ĐKXĐ của \( P \) là: \[ x \geq 0 \quad \text{và} \quad x \neq 1 \] Bước 2: Rút gọn biểu thức \( P \) Biểu thức ban đầu là: \[ P = \left( \frac{1}{\sqrt{x}+1} - \frac{1}{\sqrt{x}-1} \right) \cdot \frac{x-1}{2\sqrt{x}+1} \] Bước 2.1: Kết hợp các phân thức trong ngoặc đơn Ta cần kết hợp các phân thức \( \frac{1}{\sqrt{x}+1} \) và \( \frac{1}{\sqrt{x}-1} \): \[ \frac{1}{\sqrt{x}+1} - \frac{1}{\sqrt{x}-1} = \frac{(\sqrt{x}-1) - (\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} \] \[ = \frac{\sqrt{x} - 1 - \sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} \] \[ = \frac{-2}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} \] Bước 2.2: Nhân với phân thức còn lại Bây giờ, ta nhân kết quả trên với \( \frac{x-1}{2\sqrt{x}+1} \): \[ P = \frac{-2}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} \cdot \frac{x-1}{2\sqrt{x}+1} \] Bước 2.3: Rút gọn biểu thức Nhận thấy \( (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1) = x - 1 \), ta có: \[ P = \frac{-2}{x-1} \cdot \frac{x-1}{2\sqrt{x}+1} \] \[ = \frac{-2(x-1)}{(x-1)(2\sqrt{x}+1)} \] \[ = \frac{-2}{2\sqrt{x}+1} \] Kết luận Biểu thức \( P \) đã được rút gọn thành: \[ P = \frac{-2}{2\sqrt{x}+1} \] Điều kiện xác định của \( P \) là: \[ x \geq 0 \quad \text{và} \quad x \neq 1 \]