Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(5πt) cm (t tỉnh bằng s ). Thời điểm thứ 2018 vật đi qua vị trí có tốc độ bằng 10π cm/s là bao nhiêu giây( làm tròn đến hàng đơn vị)

Cho chất điểm dao động điều hòa với phương trình: \[ x = 4 \cos(5 \pi t) \, \text{cm} \] Ta có: - Biên độ \( A = 4 \, \text{cm} \) - \(\omega = 5 \pi \, \text{rad/s}\) **Bước 1: Tính vận tốc** Vận tốc của chất điểm là đạo hàm của li độ theo thời gian: \[ v = \frac{dx}{dt} = -4 \times 5\pi \sin(5\pi t) = -20 \pi \sin(5 \pi t) \, \text{cm/s} \] **Bước 2: Tìm thời điểm vật đi qua vị trí có vận tốc bằng \(10 \pi\) cm/s** Ta có: \[ |v| = 10 \pi \Rightarrow |-20 \pi \sin(5 \pi t)| = 10 \pi \] \[ 20 \pi |\sin(5 \pi t)| = 10 \pi \Rightarrow |\sin(5 \pi t)| = \frac{10 \pi}{20 \pi} = \frac{1}{2} \] Vậy: \[ \sin(5 \pi t) = \pm \frac{1}{2} \] **Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình** Xét \(\sin \theta = \frac{1}{2}\), nghiệm tổng quát là: \[ \theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad \theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Xét \(\sin \theta = -\frac{1}{2}\), nghiệm tổng quát là: \[ \theta = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad \theta = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Ở đây, \(\theta = 5 \pi t\), vậy: \[ 5 \pi t = \frac{\pi}{6} + 2k \pi, \quad 5 \pi t = \frac{5\pi}{6} + 2k \pi, \quad 5 \pi t = \frac{7\pi}{6} + 2k \pi, \quad 5 \pi t = \frac{11\pi}{6} + 2k \pi \] Chia cả hai vế cho \(5 \pi\): \[ t = \frac{1}{30} + \frac{2k}{5}, \quad t = \frac{1}{6} + \frac{2k}{5}, \quad t = \frac{7}{30} + \frac{2k}{5}, \quad t = \frac{11}{30} + \frac{2k}{5} \] **Bước 4: Liệt kê các thời điểm** Các thời điểm vật có vận tốc bằng \(10 \pi\) cm/s là các giá trị \(t\) thuộc tập hợp: \[ \left\{ \frac{1}{30} + \frac{2k}{5}, \frac{1}{6} + \frac{2k}{5}, \frac{7}{30} + \frac{2k}{5}, \frac{11}{30} + \frac{2k}{5} \mid k \in \mathbb{Z}_{\geq 0} \right\} \] Mỗi chu kỳ có \(4\) thời điểm như vậy. **Bước 5: Tìm thời điểm thứ 2018** Do mỗi chu kỳ (chu kỳ \(T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{5\pi} = \frac{2}{5} = 0.4\) s) có 4 thời điểm, nên sau \(k\) chu kỳ có: \[ 4(k+1) \geq 2018 \Rightarrow k+1 \geq \frac{2018}{4} = 504.5 \] Suy ra: \[ k = 504 \] Thời điểm thứ 2018 ứng với \(k=504\) và vị trí thứ \(2018 \mod 4 = 2\) (vị trí thứ 2 trong 4 vị trí ở chu kỳ đó). Các vị trí trong chu kỳ \(k\) là: 1. \(t_1 = \frac{1}{30} + \frac{2k}{5}\) 2. \(t_2 = \frac{1}{6} + \frac{2k}{5}\) 3. \(t_3 = \frac{7}{30} + \frac{2k}{5}\) 4. \(t_4 = \frac{11}{30} + \frac{2k}{5}\) Vị trí thứ 2 là: \[ t = \frac{1}{6} + \frac{2 \times 504}{5} = \frac{1}{6} + \frac{1008}{5} \] Tính: \[ \frac{1}{6} \approx 0.1667, \quad \frac{1008}{5} = 201.6 \] \[ t = 201.6 + 0.1667 = 201.7667 \, \text{(giây)} \] Làm tròn đến hàng đơn vị: \[ t \approx 202 \, \text{giây} \] **Đáp án:** Thời điểm thứ 2018 vật đi qua vị trí có vận tốc bằng \(10 \pi\) cm/s là khoảng **202 giây**.