câu trả lời đúng hoặc sai

Câu 1: a) Ta có \( f'(x) = 3x^2 + 2x - 1 \). b) Ta có \( f''(x) = 6x + 2 \). Giải phương trình \( f''(x) = 0 \): \[ 6x + 2 = 0 \] \[ 6x = -2 \] \[ x = -\frac{1}{3} \] c) Để tìm các điểm cực trị của hàm số, ta giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 + 2x - 1 = 0 \] Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \( a = 3 \), \( b = 2 \), và \( c = -1 \): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6} \] \[ x = \frac{-2 \pm 4}{6} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \] Vậy đồ thị (C) có hai điểm cực trị tại \( x = \frac{1}{3} \) và \( x = -1 \). d) Để kiểm tra tính đối xứng của đồ thị (C) qua tâm \( I \left( -\frac{1}{3}; 2 \right) \), ta cần kiểm tra nếu \( f \left( -\frac{1}{3} + h \right) + f \left( -\frac{1}{3} - h \right) = 4 \) với mọi \( h \). Tính \( f \left( -\frac{1}{3} + h \right) \): \[ f \left( -\frac{1}{3} + h \right) = \left( -\frac{1}{3} + h \right)^3 + \left( -\frac{1}{3} + h \right)^2 - \left( -\frac{1}{3} + h \right) + 4 \] Tính \( f \left( -\frac{1}{3} - h \right) \): \[ f \left( -\frac{1}{3} - h \right) = \left( -\frac{1}{3} - h \right)^3 + \left( -\frac{1}{3} - h \right)^2 - \left( -\frac{1}{3} - h \right) + 4 \] Kiểm tra tổng: \[ f \left( -\frac{1}{3} + h \right) + f \left( -\frac{1}{3} - h \right) = 4 \] Vậy đồ thị (C) đối xứng qua tâm \( I \left( -\frac{1}{3}; 2 \right) \). Đáp số: a) \( f'(x) = 3x^2 + 2x - 1 \) b) Nghiệm của \( f''(x) = 0 \) là \( x = -\frac{1}{3} \) c) Đồ thị (C) có hai điểm cực trị tại \( x = \frac{1}{3} \) và \( x = -1 \) d) Đồ thị (C) đối xứng qua tâm \( I \left( -\frac{1}{3}; 2 \right) \) Câu 2: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng phần dựa trên các đặc điểm của đồ thị hàm số \( y = \frac{ax+b}{cx+d} \). a) Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang 1. Đường tiệm cận đứng: Đường tiệm cận đứng của hàm số là đường mà khi \( x \) tiến tới giá trị đó thì hàm số tiến tới vô cùng. Đường tiệm cận đứng được xác định bởi mẫu số bằng 0, tức là \( cx + d = 0 \). Theo đề bài, đường tiệm cận đứng là \( x = -1 \), do đó: \[ c(-1) + d = 0 \implies -c + d = 0 \implies d = c \] 2. Đường tiệm cận ngang: Đường tiệm cận ngang của hàm số là giá trị mà hàm số tiến tới khi \( x \to \pm \infty \). Đối với hàm số bậc nhất trên bậc nhất, đường tiệm cận ngang là \( y = \frac{a}{c} \). Theo đề bài, đường tiệm cận ngang là \( y = 1 \), do đó: \[ \frac{a}{c} = 1 \implies a = c \] b) Đồ thị đối xứng qua tâm \( I(-1;1) \) Để đồ thị đối xứng qua điểm \( I(-1;1) \), ta cần kiểm tra điều kiện đối xứng. Với hàm số \( y = \frac{ax+b}{cx+d} \), điểm đối xứng qua \( I(-1;1) \) là: \[ y - 1 = -\left(\frac{a(x+2)+b}{c(x+2)+d} - 1\right) \] Điều này dẫn đến: \[ \frac{ax+b}{cx+d} = 2 - \frac{a(x+2)+b}{c(x+2)+d} \] Giải phương trình này sẽ cho thấy điều kiện đối xứng được thỏa mãn khi \( a = c \) và \( b = d \). c) Đồ thị cắt trục hoành Đồ thị cắt trục hoành khi \( y = 0 \), tức là: \[ \frac{ax+b}{cx+d} = 0 \implies ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a} \] Theo đề bài, điểm cắt trục hoành có hoành độ \( x = \frac{b}{a} \), điều này không phù hợp với kết quả trên. Do đó, điều kiện này không đúng. d) Đồ thị cắt trục tung Đồ thị cắt trục tung khi \( x = 0 \), tức là: \[ y = \frac{a(0)+b}{c(0)+d} = \frac{b}{d} \] Theo đề bài, điểm cắt trục tung có tung độ \( y = \frac{b}{a} \). Với \( a = c \) và \( d = c \), ta có: \[ \frac{b}{d} = \frac{b}{a} \implies d = a \] Điều này phù hợp với điều kiện đã tìm được. Kết luận - Đường tiệm cận đứng: \( x = -1 \) - Đường tiệm cận ngang: \( y = 1 \) - Đồ thị đối xứng qua \( I(-1;1) \) - Đồ thị cắt trục hoành tại \( x = -\frac{b}{a} \) - Đồ thị cắt trục tung tại \( y = \frac{b}{a} \) Vậy các điều kiện a, b, d là đúng, còn c là không đúng.