Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E). 1. Chứng minh AC. AE không đổi. 2. Ch...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: 1. Chứng minh AC \cdot AE không đổi: - Gọi \( O \) là tâm của nửa đường tròn, \( R \) là bán kính. - Vì \( AB \) là đường kính, nên \( \angle ACB = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Tương tự, \( \angle ADB = 90^\circ \). - Xét tam giác \( \triangle ACB \) và tam giác \( \triangle AEB \), ta có: - \( \angle ACB = \angle AEB = 90^\circ \). - \( \angle CAB = \angle EAB \) (cùng chắn cung \( AB \)). - Do đó, hai tam giác \( \triangle ACB \) và \( \triangle AEB \) đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA). - Từ tính chất đồng dạng, ta có: \[ \frac{AC}{AB} = \frac{AE}{AB} \] Suy ra: \[ AC \cdot AE = AB^2 \] - Vì \( AB \) là đường kính của nửa đường tròn, nên \( AB \) không đổi. Do đó, \( AC \cdot AE \) không đổi. 2. Chứng minh \(\angle ABD = \angle DFB\): - Xét tam giác \( \triangle ABD \) và tam giác \( \triangle DFB \). - Ta có \( \angle ABD \) là góc nội tiếp chắn cung \( AD \). - Tương tự, \( \angle DFB \) là góc tạo bởi tiếp tuyến \( Bx \) và dây cung \( BD \). - Theo tính chất của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, ta có: \[ \angle DFB = \angle ABD \] - Do đó, \(\angle ABD = \angle DFB\). Vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.