Giúp mình với!

Bài 9: a) Thay $x=9$ vào biểu thức $A=\frac{x+3}{\sqrt x-2},$ ta được: $A=\frac{9+3}{\sqrt 9-2}=\frac{12}{3-2}=12$ Vậy giá trị của biểu thức A khi $x=9$ là 12. b) Ta có: $B=\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x+2}+\frac{5\sqrt x-2}{x-4}=\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x+2}+\frac{5\sqrt x-2}{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}=\frac{(\sqrt x-1)(\sqrt x-2)+5\sqrt x-2}{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}=\frac{x-3\sqrt x+2+5\sqrt x-2}{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}=\frac{x+2\sqrt x}{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}=\frac{\sqrt x(\sqrt x+2)}{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-2}$ c) Ta có $C=\frac{AB}{B}=\frac{A}{B}=\frac{x+3}{\sqrt x-2}\cdot \frac{\sqrt x-2}{\sqrt x}=\frac{x+3}{\sqrt x}=\sqrt x+\frac{3}{\sqrt x}$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $\sqrt x$ và $\frac{3}{\sqrt x},$ ta có: $\sqrt x+\frac{3}{\sqrt x}\ge 2\sqrt{\sqrt x\cdot \frac{3}{\sqrt x}}=2\sqrt{3}$ Dấu " = " xảy ra khi $\sqrt x=\frac{3}{\sqrt x}\Leftrightarrow x=3.$ Vậy giá trị nhỏ nhất của C là $2\sqrt{3}$ khi $x=3.$ Bài 10: a) Thay $x=4$ vào biểu thức $P$ ta được: $P=\frac{4+7}{3\sqrt 4}=\frac{11}{3\times 2}=\frac{11}{6}$ b) Ta có: $Q=\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-3}+\frac{2\sqrt x}{\sqrt x+3}+\frac{7\sqrt x+3}{9-x}$ $=\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-3}+\frac{2\sqrt x}{\sqrt x+3}-\frac{7\sqrt x+3}{(\sqrt x-3)(\sqrt x+3)}$ $=\frac{(\sqrt x+1)(\sqrt x+3)+2\sqrt x(\sqrt x-3)-(7\sqrt x+3)}{(\sqrt x-3)(\sqrt x+3)}$ $=\frac{x+3\sqrt x+\sqrt x+3+2x-6\sqrt x-7\sqrt x-3}{(\sqrt x-3)(\sqrt x+3)}$ $=\frac{3x-9\sqrt x}{(\sqrt x-3)(\sqrt x+3)}$ $=\frac{3\sqrt x(\sqrt x-3)}{(\sqrt x-3)(\sqrt x+3)}$ $=\frac{3\sqrt x}{\sqrt x+3}$ c) Ta có: $A=P.Q=\frac{x+7}{3\sqrt x}\times \frac{3\sqrt x}{\sqrt x+3}=\frac{x+7}{\sqrt x+3}$ $=\frac{x+9-2}{\sqrt x+3}=\frac{(\sqrt x)^2+3^2+2\times \sqrt x\times 3-2}{\sqrt x+3}$ $=\frac{(\sqrt x+3)^2-2}{\sqrt x+3}=\sqrt x+3-\frac{2}{\sqrt x+3}$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $\sqrt x+3$ và $\frac{2}{\sqrt x+3}$ ta có: $\sqrt x+3+\frac{2}{\sqrt x+3}\ge 2\sqrt{(\sqrt x+3)\times \frac{2}{\sqrt x+3}}=2\sqrt{2}$ Dấu " = " xảy ra khi $\sqrt x+3=\frac{2}{\sqrt x+3}\Leftrightarrow (\sqrt x+3)^2=2\Leftrightarrow \sqrt x+3=\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt x=\sqrt{2}-3$ (loại) Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ là $2\sqrt{2}-6$, đạt được khi $\sqrt x=\sqrt{2}-3$. Bài 11: a) Thay $x=25$ vào Q ta được: \[ Q = \frac{\sqrt{25}-3}{2} = \frac{5-3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] b) Ta có: \[ P = \frac{1}{\sqrt{x}-3} + \frac{\sqrt{x}+15}{x-9} \] \[ = \frac{1}{\sqrt{x}-3} + \frac{\sqrt{x}+15}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} \] \[ = \frac{\sqrt{x}+3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} + \frac{\sqrt{x}+15}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} \] \[ = \frac{2\sqrt{x}+18}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} \] \[ = \frac{2(\sqrt{x}+9)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} \] Ta có: \[ M = P \cdot Q \] \[ = \frac{2(\sqrt{x}+9)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} \cdot \frac{\sqrt{x}-3}{2} \] \[ = \frac{2(\sqrt{x}+9)(\sqrt{x}-3)}{2(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} \] \[ = \frac{\sqrt{x}+9}{\sqrt{x}+3} \] c) Ta có: \[ M = \frac{\sqrt{x}+9}{\sqrt{x}+3} \] \[ = \frac{\sqrt{x}+3+6}{\sqrt{x}+3} \] \[ = 1 + \frac{6}{\sqrt{x}+3} \] Do $\sqrt{x}+3 > 0$ nên $\frac{6}{\sqrt{x}+3} > 0$. Suy ra $M > 1$. Dấu " = " xảy ra khi $\sqrt{x}+3 = 6$, tức là $\sqrt{x} = 3$ hay $x = 9$. Vậy giá trị lớn nhất của M là 1, đạt được khi $x = 9$. Bài 12: Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 9 \) a) Thay \( x = 25 \) vào biểu thức \( A \): \( A = \frac{2\sqrt{25} - 1}{\sqrt{25} - 3} = \frac{2 \cdot 5 - 1}{5 - 3} = \frac{10 - 1}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \) b) Rút gọn biểu thức \( B \): \( B = \frac{2x + 3\sqrt{x} + 9}{x - 9} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} \) Nhận thấy rằng \( x - 9 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3) \), ta có: \( B = \frac{2x + 3\sqrt{x} + 9}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} \) Quy đồng mẫu số chung: \( B = \frac{2x + 3\sqrt{x} + 9 - \sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \) \( B = \frac{2x + 3\sqrt{x} + 9 - x + 3\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \) \( B = \frac{x + 6\sqrt{x} + 9}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \) \( B = \frac{(\sqrt{x} + 3)^2}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \) \( B = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 3} \) c) Đặt \( P = \frac{A}{B} \): \( P = \frac{\frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3}}{\frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 3}} \) \( P = \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3} \) Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), ta xét biểu thức \( P = \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3} \). Ta có: \( P = \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3} = \frac{2(\sqrt{x} + 3) - 7}{\sqrt{x} + 3} = 2 - \frac{7}{\sqrt{x} + 3} \) Do \( \sqrt{x} + 3 > 0 \) nên \( \frac{7}{\sqrt{x} + 3} > 0 \). Vậy \( P < 2 \). Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( 2 - \frac{7}{\sqrt{x} + 3} \) khi \( \sqrt{x} + 3 \) đạt giá trị lớn nhất. Khi \( \sqrt{x} + 3 \) đạt giá trị lớn nhất, tức là \( \sqrt{x} \) đạt giá trị lớn nhất, ta có: \( \sqrt{x} = 3 \) \( x = 9 \) Tuy nhiên, \( x = 9 \) không thỏa mãn điều kiện \( x \neq 9 \). Vậy giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( 2 - \frac{7}{\sqrt{x} + 3} \) khi \( \sqrt{x} \) đạt giá trị lớn nhất khác 3. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( 2 - \frac{7}{\sqrt{x} + 3} \) khi \( \sqrt{x} \) đạt giá trị lớn nhất khác 3.